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01不等式★☆☆☆☆
不等式 ∣x∣>1\lvert x\rvert>1 的解集为______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02数列★☆☆☆☆
计算 lim⁡n→∞3n−1n+2=‾\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n+2}=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣0<x<2}A=\{x\mid 0<x<2\}，B={x∣−1<x<1}B=\{x\mid -1<x<1\}，则 A∩B=‾A\cap B=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04复数★☆☆☆☆
若复数 z=1+iz=1+\mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则 z+2z=‾z+\frac{2}{z}=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05数列★☆☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，若 a2+a8=10a_2+a_8=10，则 a3+a5+a7=‾a_3+a_5+a_7=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★★☆☆☆
已知平面上动点 PP 到两个定点 (1,0)(1,0) 和 (−1,0)(-1,0) 的距离之和等于 44，则动点 PP 的轨迹方程为______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，AA1=5AA_1=5，OO 是 A1C1A_1C_1 的中点，则三棱锥 A−A1OB1A-A_1OB_1 的体积为______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
某校组队参加辩论赛，从 66 名学生中选出 44 人分别担任一，二，三，四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为______（结果用数值表示）.

2018 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若 (x2+2x)9\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^9 与 (x+ax2)9\left(x+\frac{a}{x^2}\right)^9 的二项展开式中的常数项相等，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10复数★★★★☆
设 m∈Rm\in\mathbf{R}，若 zz 是关于 xx 的方程 x2+mx+m2−1=0x^2+mx+m^2-1=0 的一个虚根，则 ∣z∣\lvert z\rvert 的取值范围是______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=x+2(1−x)sin⁡(ax)f(x)=x+2(1-x)\sin(ax)，x∈(0,1)x\in(0,1). 若函数 y=2x−1y=2x-1 与 y=f(x)y=f(x) 的图像有且仅有两个不同的公共点，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 的边长为 2020 米，圆 OO 的半径为 11 米，圆心是正方形的中心，点 PP，QQ 分别在线段 ADAD，CBCB 上，若线段 PQPQ 与圆 OO 有公共点，则称点 QQ 在点 PP 的“盲区”中，已知点 PP 以 1.51.5 米/秒的速度从 AA 出发向 DD 移动，同时，点 QQ 以 11 米/秒的速度从 CC 出发向 BB 移动，则在点 PP 从 AA 移动到 DD 的过程中，点 QQ 在点 PP 的盲区中的时长约为______秒（精确到 0.10.1）.

2018 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，为偶函数的是（ ）
A.
y=x−2y=x^{-2}
B.
y=x13y=x^{\frac13}
C.
y=x−12y=x^{-\frac12}
D.
y=x3y=x^3

2018 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的棱所在的直线中，与直线 BC1BC_1 异面的直线的条数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
设 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，“{an}\{a_n\} 是递增数列”是“{Sn}\{S_n\} 是递增数列”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2018 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16平面向量★★★★☆
已知 AA，BB 为平面上的两个定点，且 ∣AB∣=2\lvert AB\rvert=2，该平面上的动线段 PQPQ 的端点 PP，QQ，满足 ∣AP∣≤5\lvert AP\rvert\le5，AP→⋅AB→=6\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=6，AQ→=−2AP→\overrightarrow{AQ}=-2\overrightarrow{AP}，则动线段 PQPQ 所形成图形的面积为（ ）
A.
3636
B.
6060
C.
7272
D.
108108

2018 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
已知 y=cos⁡xy=\cos x.
(1) 若 f(α)=13f(\alpha)=\frac13，且 α∈[0,π]\alpha\in[0,\pi]，求 f ⁣(α−π3)f\!\left(\alpha-\frac\pi3\right) 的值； (2) 求函数 y=f(2x)−2f(x)y=f(2x)-2f(x) 的最小值.

2018 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，双曲线 Γ:x2a2−y2=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1.
(1) 若点 (2,1)(2,1) 在上，求 Γ\Gamma 的焦点坐标； (2) 若 a=1a=1，直线 y=kx+1y=kx+1 与 Γ\Gamma 相交于 AA，BB 两点，且线段 ABAB 中点的横坐标为 11，求实数 kk 的值.

2018 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点 OO，AA，BB 在抛物线上，OCOC 是抛物线的对称轴，OC⊥ABOC\perp AB 于 CC，AB=3AB=3 米，OC=4.5OC=4.5 米.
(1) 求抛物线的焦点到准线的距离； (2) 在图3中，已知 OCOC 平行于圆锥的母线 SDSD，ABAB，DEDE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到 0.01∘0.01^\circ）.

2018 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=11+a⋅2xf(x)=\frac{1}{1+a\cdot2^x}.
(1) 若 a=1a=1，求 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x)； (2) 求函数 y=f(x)⋅f(−x)y=f(x)\cdot f(-x) 的最大值（用 aa 表示）； (3) 设 g(x)=f(x)−f(x−1)g(x)=f(x)-f(x-1)，若对任意 x∈(−∞,0]x\in(-\infty,0]，g(x)≥g(0)g(x)\ge g(0) 恒成立，求 aa 取值范围.

2018 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
若 {cn}\{c_n\} 是递增数列，数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，存在 m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，使得 am−cnam−cn+1≤0\frac{a_m-c_n}{a_m-c_{n+1}}\le0，则称 {an}\{a_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的“分隔数列”.
(1) 设 cn=2nc_n=2n，an=n+1a_n=n+1，证明：数列 {an}\{a_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的分隔数列； (2) 设 cn=n−4c_n=n-4，SnS_n 是 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和，dn=c3n−2d_n=c_{3n-2}，判断数列 {Sn}\{S_n\} 是否是数列 {dn}\{d_n\} 的分隔数列，并说明理由； (3) 设 cn=aqn−1c_n=aq^{n-1}，TnT_n 是 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和，若数列 {Tn}\{T_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的分隔数列，求实数 aa，qq 的取值范围.

2018 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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