设函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$，其中 $a>0$.

(1) 解不等式 $f(x)\leqslant1$； (2) 求 $a$ 的取值范围，使函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是单调函数.

如图，已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB|=2|CD|$，点 $E$ 分有向线段 $\overrightarrow{AC}$ 所成的比为 $\lambda$，双曲线过 $C$，$D$，$E$ 三点，且以 $A$，$B$ 为焦点，当 $\frac23\leqslant\lambda\leqslant\frac34$ 时，求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.