已知函数 $f(x) = \sqrt{x}$，$g(x) = a\ln x$，$a \in \mathbf{R}$.

(1) 若曲线 $y = f(x)$ 与曲线 $y = g(x)$ 相交，且在交点处有共同的切线，求 $a$ 的值和该切线方程； (2) 设函数 $h(x) = f(x) - g(x)$，当 $h(x)$ 存在最小值时，求其最小值 $\varphi(a)$ 的解析式； (3) 对第 $2$ 问中的 $\varphi(a)$ 和任意的 $a > 0$，$b > 0$，证明：$\varphi'\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{\varphi'(a) + \varphi'(b)}{2} \leqslant \varphi'\left(\frac{2ab}{a + b}\right)$.