棱长为 $a$ 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（$\quad$）

一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（$\quad$）

在平面几何里，有勾股定理：“设 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$，$AC$ 互相垂直，则 $AB^2 + AC^2 = BC^2$. ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 $A - BCD$ 的三个侧面 $ABC$，$ACD$，$ADB$ 两两互相垂直，则______.”

已知正四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$AB = 1$，$AA_{1} = 2$，$E$ 为 $CC_{1}$ 中点，$F$ 为 $BD_{1}$ 中点.

(1) 证明： $EF$ 为 $BD_{1}$ 与 $CC_{1}$ 的公垂线； (2) 求点 $D_{1}$ 到面 $BDE$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AA_{1}}$ 分别为 $x$、$y$、$z$ 轴的正向，建立直角坐标系，则 $B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$、$D_{1}(0,1,2)$、$C_{1}(1,1,2)$，从而 $E(1,1,1)$、$F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$.

于是 $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$、$\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,1,2)$、$\overrightarrow{CC_{1}}=(0,0,2)$，故 $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}=0$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CC_{1}}=0$. 又 $F\in BD_{1}$，$E\in CC_{1}$，所以 $EF$ 同时垂直于 $BD_{1}$ 和 $CC_{1}$，即 $EF$ 为它们的公垂线.

\item $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$. 取平面 $BDE$ 的一个法向量为 因此平面 $BDE$ 的方程为 $x+y-z-1=0$. 点 $D_{1}(0,1,2)$ 到该平面的距离为 \end{enumerate} \end{solution}