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02三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（\quad）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
双曲线虚轴的一个端点为 MM，两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，∠F1MF2=120∘\angle F_{1}MF_{2} = 120^{\circ}，则双曲线的离心率为（\quad）
A.
3\sqrt{3}
B.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
C.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2003 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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22三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi）是 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于点 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) 对称，且在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是单调函数. 求 ω\omega 和 φ\varphi 的值.
\begin{solution} 由于 f(x)f(x) 是偶函数，对任意 xx 有
0=f(x)−f(−x)=sin⁡(ωx+φ)−sin⁡(−ωx+φ)=2cos⁡φsin⁡ωx0=f(x)-f(-x)=\sin(\omega x+\varphi)-\sin(-\omega x+\varphi)=2\cos\varphi\sin\omega x
又 ω>0\omega>0，故 cos⁡φ=0\cos\varphi=0. 结合 0⩽φ⩽π0\leqslant\varphi\leqslant\pi，得 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}，从而 f(x)=cos⁡ωxf(x)=\cos\omega x.
图象关于 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4},0\right) 对称，故对任意 xx 有
cos⁡(ω(3π2−x))=−cos⁡ωx\cos\left(\omega\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\right)=-\cos\omega x
令 t=ωxt=\omega x，则上式对任意 t∈Rt\in\mathbf{R} 成立. 由
cos⁡(3πω2−t)=cos⁡3πω2cos⁡t+sin⁡3πω2sin⁡t\cos\left(\frac{3\pi\omega}{2}-t\right)=\cos\frac{3\pi\omega}{2}\cos t+\sin\frac{3\pi\omega}{2}\sin t
可得 cos⁡3πω2=−1\cos\frac{3\pi\omega}{2}=-1，sin⁡3πω2=0\sin\frac{3\pi\omega}{2}=0， 所以 3πω2=(2m+1)π\frac{3\pi\omega}{2}=(2m+1)\pi，即 ω=2(2m+1)3\omega=\frac{2(2m+1)}{3}，其中 mm 为非负整数.
在区间 [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] 上，ωx\omega x 的取值范围为 [0,(2m+1)π3]\left[0,\frac{(2m+1)\pi}{3}\right]. 当 m=0m=0 或 m=1m=1 时，cos⁡ωx\cos\omega x 在该区间上单调递减；当 m⩾2m\geqslant2 时，ωx\omega x 在该区间内越过 π\pi，函数先减后增，不满足单调性. 因此
(ω,φ)=(23,π2)或(2,π2)(\omega,\varphi)=\left(\frac{2}{3},\frac{\pi}{2}\right)\quad\text{或}\quad\left(2,\frac{\pi}{2}\right)
\end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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