在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ （$x>0$）的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$. 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$. 设线段 $MN$ 的中点的纵坐标为 $t$，则 $t$ 的最大值是______.

请你设计一个包装盒. 如图所示，$ABCD$ 是边长为 $60\mathrm{~cm}$ 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个点重合于图中的点 $P$，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E$，$F$ 在 $AB$ 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 $AE=FB=x$（$\mathrm{cm}$）.

(1) 若广告商要求包装盒侧面积 $S$（$\mathrm{cm}^2$）最大，试问 $x$ 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 $V$（$\mathrm{cm}^3$）最大，试问 $x$ 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

已知 $a$，$b$ 是实数，函数 $f(x)=x^3+ax$，$g(x)=x^2+bx$，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$，$g(x)$ 的导函数，若 $f'(x)g'(x)\geqslant 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上单调性一致.

(1) 设 $a>0$，若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围； (2) 设 $a<0$ 且 $a\neq b$，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a$，$b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值.