如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=AD$，$\angle BAD=60^\circ$，$E$，$F$ 分别是 $AP$，$AD$ 的中点. 求证：

(1) 直线 $EF\parallel$ 平面 $PCD$； (2) 平面 $BEF\perp$ 平面 $PAD$.

请你设计一个包装盒. 如图所示，$ABCD$ 是边长为 $60\mathrm{~cm}$ 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个点重合于图中的点 $P$，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E$，$F$ 在 $AB$ 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 $AE=FB=x$（$\mathrm{cm}$）.

(1) 若广告商要求包装盒侧面积 $S$（$\mathrm{cm}^2$）最大，试问 $x$ 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 $V$（$\mathrm{cm}^3$）最大，试问 $x$ 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

如图，在正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AA_{1}=2$，$AB=1$，点 $N$ 是 $BC$ 的中点，点 $M$ 在 $CC_{1}$ 上. 设二面角 $A_{1}-DN-M$ 的大小为 $\theta$.

(1) 当 $\theta=90^\circ$ 时，求 $AM$ 的长； (2) 当 $\cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $CM$ 的长.