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31数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\left\{a_{n}\right\} 的公差是正数，且 a3a7=−12a_{3} a_{7} = -12， a4+a6=−4a_{4} + a_{6} = -4，则前 2020 项的和 S20S_{20} 的值是______.

1986 · 广东 · 理 · 第 31 题 · 填空题

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33数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞n(n+1−n)=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\underline{\hspace{2em}}.

1986 · 广东 · 理 · 第 33 题 · 填空题

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38三角函数★★★★☆
已知数列 {an}\left\{a_{n}\right\}，其中 an=cos⁡nαa_{n}=\cos n\alpha（0<α<π0<\alpha<\pi）.
(1) 试用 an−1a_{n-1}，an−2a_{n-2} 表示 ana_{n}； (2) 用数学归纳法证明 a1+a2+⋯+an=sin⁡nα2cos⁡n+12αsin⁡α2a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{n+1}{2}\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}； (3) 求和 a1−a2+a3−a4+⋯+(−1)k+1ak+⋯−a2n+a2n+1a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots+(-1)^{k+1}a_{k}+\cdots-a_{2n}+a_{2n+1}.

1986 · 广东 · 理 · 第 38 题 · 解答题

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