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01函数与初等函数★★★☆☆
如果函数 y=ax2+bx+ay = ax^{2} + bx + a 的图象与 xx 轴有两个交点，则点 (a,b)(a, b) 在 aObaOb 平面上的区域（不包含边界）为（ ）
A.
B.
C.
D.

2003 · 江苏 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
抛物线 y=ax2y = ax^{2} 的准线方程是 y=2y = 2，则 aa 的值为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
−18-\frac{1}{8}
C.
88
D.
−8-8

2003 · 江苏 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
已知 x∈(−π2,0)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)，cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}，则 tan⁡2x=\tan 2x =（ ）
A.
724\frac{7}{24}
B.
−724-\frac{7}{24}
C.
247\frac{24}{7}
D.
−247-\frac{24}{7}

2003 · 江苏 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={2−x−1,x⩽0,x12,x>0,f(x) = \begin{cases} 2^{-x} - 1, & x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}}, & x > 0, \end{cases}
若 f(x0)>1f(x_0) > 1，则 x0x_0 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1)(-1, 1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−2)∪(0,+∞)(- \infty, -2) \cup (0, +\infty)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

2003 · 江苏 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★★★☆☆
OO 是平面上一定点，AA，BB，CC 是平面上不共线的三个点，动点 PP 满足 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)，λ∈[0,+∞)\lambda \in [0, +\infty)，则 PP 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的（ ）
A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

2003 · 江苏 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=ln⁡x+1x−1y = \ln \frac{x + 1}{x - 1}，x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty) 的反函数为（ ）
A.
y=ex−1ex+1,x∈(0,+∞)y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}, x \in (0, +\infty)
B.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
C.
y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)
D.
y=ex+1ex−1y = \frac{\mathrm{e}^{x} + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}，x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0)

2003 · 江苏 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
棱长为 aa 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A.
a33\frac{a^3}{3}
B.
a34\frac{a^3}{4}
C.
a36\frac{a^3}{6}
D.
a312\frac{a^3}{12}

2003 · 江苏 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. 曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0, f(x_0)) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则 PP 到曲线 y=f(x)y = f(x) 对称轴距离的取值范围为（ ）
A.
[0,1a]\left[0, \frac{1}{a}\right]
B.
[0,12a]\left[0, \frac{1}{2a}\right]
C.
[0,∣b2a∣]\left[0, \left|\frac{b}{2a}\right|\right]
D.
[0,∣b−12a∣]\left[0, \left|\frac{b - 1}{2a}\right|\right]

2003 · 江苏 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
已知方程 (x2−2x+m)(x2−2x+n)=0(x^{2} - 2x + m)(x^{2} - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为 14\frac{1}{4} 的等差数列. 则 ∣m−n∣=|m - n| =（ ）
A.
11
B.
34\frac{3}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
38\frac{3}{8}

2003 · 江苏 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0)F(\sqrt{7}, 0)，直线 y=x−1y = x - 1 与其相交于 MM，NN 两点，MNMN 中点的横坐标为 −23-\frac{2}{3}，则此双曲线的方程是（ ）
A.
x23−y24=1\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{4} = 1
B.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1
C.
x25−y22=1\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{2} = 1
D.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{5} = 1

2003 · 江苏 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知长方形的四个顶点 A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)，C(2,1)C(2,1) 和 D(0,1)D(0,1)，一质点从 ABAB 的中点 P0P_0 沿与 ABAB 的夹角 θ\theta 的方向射到 BCBC 上的点 P1P_1 后，依次反射到 CDCD，DADA 和 ABAB 上的点 P2P_2，P3P_3 和 P4P_4（入射角等于反射角）. 设 P4P_4 的坐标为 (x4,0)(x_4,0)，若 1<x4<21 < x_4 < 2，则 tan⁡θ\tan \theta 的取值范围是（ ）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3}, 1\right)
B.
(13,23)\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)
C.
(25,12)\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}\right)
D.
(25,23)\left(\frac{2}{5}, \frac{2}{3}\right)

2003 · 江苏 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 江苏 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2−12x)9\left(x^{2} - \frac{1}{2x}\right)^{9} 的展开式中 x9x^{9} 系数是______.

2003 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 12001200 辆，60006000 辆和 20002000 辆. 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 4646 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______，______，______辆.

2003 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 66 个部分（如图）. 现要栽种 44 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.

2003 · 江苏 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
对于四面体 ABCDABCD，给出下列四个命题：
① 若 AB=ACAB = AC，BD=CDBD = CD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ② 若 AB=CDAB = CD，AC=BDAC = BD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ③ 若 AB⊥ACAB \perp AC，BD⊥CDBD \perp CD，则 BC⊥ADBC \perp AD； ④ 若 AB⊥CDAB \perp CD，AC⊥BDAC \perp BD，则 BC⊥ADBC \perp AD.
其中真命题的序号是______.

2003 · 江苏 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★☆☆☆
有三种产品，合格率分别为 0.900.90，0.950.95 和 0.950.95，各抽取一件进行检验.
(1) 求恰有一件不合格的概率； (2) 求至少有两件不合格的概率（精确到 0.0010.001）.

2003 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0，0⩽φ⩽π0 \leqslant \varphi \leqslant \pi）是 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于点 M(3π4,0)M\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) 对称，且在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是单调函数. 求 ω\omega 和 φ\varphi 的值.

2003 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，侧棱 AA1=2AA_{1}=2，DD，EE 分别是 CC1CC_{1} 与 A1BA_{1}B 的中点，点 EE 在平面 ABDABD 上的射影是 △ABD\triangle ABD 的重心 GG.
(1) 求 A1BA_{1}B 与平面 ABDABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 求点 A1A_{1} 到平面 AEDAED 的距离.

2003 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知常数 a>0a > 0，向量 c=(0,a)\boldsymbol{c} = (0, a)，i=(1,0)\boldsymbol{i} = (1, 0). 经过原点 OO 以 c+λi\boldsymbol{c} + \lambda \boldsymbol{i} 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)A(0, a) 以 i−2λc\boldsymbol{i} - 2\lambda \boldsymbol{c} 为方向向量的直线相交于 PP，其中 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}. 试问：是否存在两个定点 EE，FF，使得 ∣PE∣+∣PF∣|PE| + |PF| 为定值. 若存在，求出 EE，FF 的坐标；若不存在，说明理由.

2003 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a > 0，nn 为正整数.
(1) 设 y=(x−a)ny = (x - a)^n，证明：y′=n(x−a)n−1y' = n(x - a)^{n-1}； (2) 设 fn(x)=xn−(x−a)nf_{n}(x) = x^{n} - (x - a)^{n}，对任意 n⩾an \geqslant a，证明：fn+1′(n+1)>(n+1)fn′(n)f_{n+1}'(n+1) > (n+1)f_{n}'(n).

2003 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
设 a>0a > 0，如图，已知直线 l:y=axl: y = ax 及曲线 C:y=x2C: y = x^2，CC 上的点 Q1Q_1 的横坐标为 a1a_1（0<a1<a0 < a_1 < a）. 从 CC 上的点 QnQ_n（n⩾1n \geqslant 1）作直线平行于 xx 轴，交直线 ll 于点 Pn+1P_{n+1}，再从点 Pn+1P_{n+1} 作直线平行于 yy 轴，交曲线 CC 于点 Qn+1Q_{n+1}. QnQ_n（n=1n = 1，22，33，⋯\cdots）的横坐标构成数列 {an}\{a_n\}.
(1) 试求 an+1a_{n+1} 与 ana_n 的关系，并求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 当 a=1a = 1，a1⩽12a_1 \leqslant \frac{1}{2} 时，证明：∑k=1n(ak−ak+1)ak+2<132\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) a_{k+2} < \frac{1}{32}； (3) 当 a=1a = 1 时，证明：∑k=1n(ak−ak+1)ak+2<13\sum_{k=1}^{n} (a_k - a_{k+1}) a_{k+2} < \frac{1}{3}.

2003 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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