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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={(x,y)∣x2+y2=1}A=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}，B={(x,y)∣y=x}B=\{(x,y)\mid y=x\}，则 A∩BA\cap B 中元素的个数为（ ）
A.
33
B.
22
C.
11
D.
00

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 (1+i)z=2i(1+\mathrm{i})z=2\mathrm{i}，则 ∣z∣=\lvert z\rvert=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
23\dfrac{\sqrt2}{3}
C.
2\sqrt2
D.
22

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人\text{万人}）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A.
月接待游客量逐月增加
B.
年接待游客量逐年增加
C.
各年的月接待游客量高峰期大致在 77，88 月
D.
各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+y)(2x−y)5(x+y)(2x-y)^5 的展开式中的 x3y3x^3y^3 系数为（ ）
A.
−80-80
B.
−40-40
C.
4040
D.
8080

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的一条渐近线方程为 y=52xy=\dfrac{\sqrt5}{2}x，且与椭圆 x212+y23=1\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{3}=1 有公共焦点，则 CC 的方程为（ ）
A.
x28−y210=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{10}=1
B.
x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1
C.
x25−y24=1\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1
D.
x24−y23=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=cos⁡ ⁣(x+π3)f(x)=\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)，则下列结论错误的是（ ）
A.
f(x)f(x) 的一个周期为 −2π-2\pi
B.
y=f(x)y=f(x) 的图象关于直线 x=8π3x=\dfrac{8\pi}{3} 对称
C.
f(x+π)f(x+\pi) 的一个零点为 x=π6x=\dfrac{\pi}{6}
D.
f(x)f(x) 在 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递减

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，为使输出 SS 的值小于 9191，则输入的正整数 NN 的最小值为（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的高为 11，它的两个底面的圆周在直径为 22 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A.
π\pi
B.
3π4\dfrac{3\pi}{4}
C.
π2\dfrac{\pi}{2}
D.
π4\dfrac{\pi}{4}

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的首项为 11，公差不为 00. 若 a2a_2，a3a_3，a6a_6 成等比数列，则 {an}\{a_n\} 前 66 项的和为（ ）
A.
−24-24
B.
−3-3
C.
33
D.
88

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左、右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，且以线段 A1A2A_1A_2 为直径的圆与直线 bx−ay+2ab=0bx-ay+2ab=0 相切，则 CC 的离心率为（ ）
A.
63\dfrac{\sqrt6}{3}
B.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
C.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
D.
13\dfrac{1}{3}

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2−2x+a(ex−1+e1−x)f(x)=x^2-2x+a\bigl(\mathrm{e}^{x-1}+\mathrm{e}^{1-x}\bigr) 有唯一零点，则 a=a=（ ）
A.
−12-\dfrac{1}{2}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
11

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
在矩形 ABCDABCD 中，AB=1AB=1，AD=2AD=2，动点 PP 在以点 CC 为圆心且与 BDBD 相切的圆上. 若 AP→=λAB→+μAD→\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}，则 λ+μ\lambda+\mu 的最大值为（ ）
A.
33
B.
222\sqrt2
C.
5\sqrt5
D.
22

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−y≥0,x+y−2≤0,y≥0,\begin{cases} x-y\ge 0,\\ x+y-2\le 0,\\ y\ge 0, \end{cases}
， 则 z=3x−4yz=3x-4y 的最小值为______

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2=−1a_1+a_2=-1，a1−a3=−3a_1-a_3=-3，则 a4=a_4=______

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={x+1,x≤0,2x,x>0,f(x)=\begin{cases} x+1,&x\le 0,\\ 2^x,&x>0, \end{cases}
，则满足 f(x)+f(x−12)>1f(x)+f\left(x-\dfrac12\right)>1 的 xx 值范围是______

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
aa，bb 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABCABC 的直角边 ACAC 所在直线与 aa，bb 都垂直，斜边 ABAB 以直线 ACAC 为旋转轴旋转，有下列结论：
① 当直线 ABAB 与 aa 成 60∘60^\circ 角时，ABAB 与 bb 成 30∘30^\circ 角； ② 当直线 ABAB 与 aa 成 60∘60^\circ 角时，ABAB 与 bb 成 60∘60^\circ 角； ③ 直线 ABAB 与 aa 所成角的最小值为 45∘45^\circ； ④ 直线 ABAB 与 aa 所成角的最大值为 60∘60^\circ；
其中正确的是（填写所有正确结论的编号）______

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A+3cos⁡A=0\sin A+\sqrt3\cos A=0，a=27a=2\sqrt7，b=2b=2.
(1) 求 cc； (2) 设 DD 为 BCBC 边上一点，且 AD⊥ACAD\perp AC，求 △ABD\triangle ABD 的面积.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元4\text{ 元}，售价每瓶 6 元6\text{ 元}，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元2\text{ 元} 的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）有关. 如果最高气温不低于 2525，需求量为 500 瓶500\text{ 瓶}；如果最高气温位于区间 [20,25)[20,25)，需求量为 300 瓶300\text{ 瓶}；如果最高气温低于 2020，需求量为 200 瓶200\text{ 瓶}. 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10,15)[10,15)[15,20)[15,20)[20,25)[20,25)[25,30)[25,30)[30,35)[30,35)[35,40)[35,40)
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 XX（单位：瓶）的分布列； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 YY（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 nn（单位：瓶）为多少时，YY 的数学期望达到最大值？

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，△ABC\triangle ABC 是正三角形，△ACD\triangle ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD\angle ABD=\angle CBD，AB=BDAB=BD.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) 过 ACAC 的平面交 BDBD 于点 EE，若平面 AECAEC 把四面体 ABCDABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D−AE−CD-AE-C 的余弦值.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2xC:y^2=2x，过点 (2,0)(2,0) 的直线 ll 交 CC 于 AA，BB 两点，圆 MM 是以线段 ABAB 为直径的圆.
(1) 证明：坐标原点 OO 在圆 MM 上； (2) 设圆 MM 过点 P(4,−2)P(4,-2)，求直线 ll 与圆 MM 的方程.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x−1−aln⁡xf(x)=x-1-a\ln x.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的值； (2) 设 mm 为整数，且对于任意正整数 nn，(1+12)(1+122)⋯(1+12n)<m\left(1+\dfrac12\right)\left(1+\dfrac1{2^2}\right)\cdots\left(1+\dfrac1{2^n}\right)<m，求 mm 的最小值.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，直线 l1l_1 的参数方程为
{x=2+t,y=kt,\begin{cases} x=2+t,\\ y=kt, \end{cases}
（tt 为参数），直线 l2l_2 的参数方程为
{x=−2+m,y=mk,\begin{cases} x=-2+m,\\ y=\dfrac{m}{k}, \end{cases}
（mm 为参数）. 设 l1l_1 与 l2l_2 的交点为 PP，当 kk 变化时，PP 的轨迹为曲线 CC.
(1) 写出 CC 的普通方程； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3:ρ(cos⁡θ+sin⁡θ)−2=0l_3:\rho(\cos\theta+\sin\theta)-\sqrt2=0，MM 为 l3l_3 与 CC 的交点，求 MM 的极径.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−∣x−2∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 求不等式 f(x)≥1f(x)\ge 1 的解集； (2) 若不等式 f(x)≥x2−x+mf(x)\ge x^2-x+m 的解集非空，求 mm 的取值范围.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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