设双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的一条渐近线与抛物线 $y = x^2 + 1$ 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）

设椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）过 $M(2, \sqrt{2})$，$N(\sqrt{6}, 1)$ 两点，$O$ 为坐标原点.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $A$，$B$，且 $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$？若存在，写出该圆的方程，并求 $|AB|$ 的取值范围；若不存在，说明理由.