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06
函数与初等函数
★★☆☆☆
函数
y
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
y = \dfrac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}
y
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
2009 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题
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14
函数与初等函数
★★★☆☆
若函数
f
(
x
)
=
a
x
−
x
−
a
f(x) = a^x - x - a
f
(
x
)
=
a
x
−
x
−
a
（
a
>
0
a > 0
a
>
0
且
a
≠
1
a \neq 1
a
=
1
）有两个零点，则实数
a
a
a
的取值范围是______.
2009 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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20
数列
★★★★☆
等比数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
. 已知对任意的
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
，点
(
n
,
S
n
)
(n, S_{n})
(
n
,
S
n
)
均在函数
y
=
b
x
+
r
y = b^{x} + r
y
=
b
x
+
r
（
b
>
0
b > 0
b
>
0
且
b
≠
1
b \neq 1
b
=
1
，
b
b
b
，
r
r
r
均为常数）的图象上.
(1) 求
r
r
r
的值； (2) 当
b
=
2
b = 2
b
=
2
时，记
b
n
=
2
(
log
2
a
n
+
1
)
b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)
b
n
=
2
(
lo
g
2
a
n
+
1
)
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）. 证明：对任意的
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
，不等式
b
1
+
1
b
1
⋅
b
2
+
1
b
2
⋯
b
n
+
1
b
n
>
n
+
1
\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1}
b
1
b
1
+
1
⋅
b
2
b
2
+
1
⋯
b
n
b
n
+
1
>
n
+
1
成立.
2009 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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