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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣⩽2,x∈R}A = \{x \mid |x| \leqslant 2, x \in \mathbf{R}\}，B={x∣x⩽4,x∈Z}B = \{x \mid \sqrt{x} \leqslant 4, x \in \mathbf{Z}\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(0,2)(0,2)
B.
[0,2][0,2]
C.
{0,2}\{0,2\}
D.
{0,1,2}\{0,1,2\}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面向量，若 a=(4,3)\boldsymbol{a} = (4, 3)，2a+b=(3,18)2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (3, 18)，则 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 夹角的余弦值等于（ ）
A.
865\frac{8}{65}
B.
−865-\frac{8}{65}
C.
1665\frac{16}{65}
D.
−1665-\frac{16}{65}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★★☆☆☆
已知复数 z=3+i(1−3i)2z = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{(1 - \sqrt{3}\mathrm{i})^2}，则 ∣z∣=|z| =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04导数及其应用★☆☆☆☆
曲线 y=x3−2x+1y = x^3 - 2x + 1 在点 (1,0)(1,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=x−1y = x - 1
B.
y=−x+1y = -x + 1
C.
y=2x−2y = 2x - 2
D.
y=−2x+2y = -2x + 2

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
中心在原点，焦点在 xx 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,2)(4,2)，则它的离心率为（ ）
A.
6\sqrt{6}
B.
5\sqrt{5}
C.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
D.
52\frac{\sqrt{5}}{2}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
如图，质点 PP 在半径为 22 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2,−2)P_{0}(\sqrt{2}, -\sqrt{2})；角速度为 11，那么点 PP 到 xx 轴的距离 dd 关于时间 tt 的函数图象大致为
A.
B.
C.
D.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
设长方体的长，宽，高分别为 2a2a，aa，aa，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
3πa23\pi a^{2}
B.
6πa26\pi a^{2}
C.
12πa212\pi a^{2}
D.
24πa224\pi a^{2}

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08数列★★☆☆☆
如果执行如图所示的框图，输入 N=5N = 5，则输出的数等于（ ）
A.
53\frac{5}{3}
B.
45\frac{4}{5}
C.
65\frac{6}{5}
D.
56\frac{5}{6}

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09函数与初等函数★★☆☆☆
设偶函数 f(x)f(x) 满足 f(x)=2x−4f(x) = 2^{x} - 4（x⩾0x \geqslant 0），则 {x∣f(x−2)>0}=\{x \mid f(x - 2) > 0\} =（ ）
A.
{x∣x<−2或x>4}\{x\mid x < -2 \text{或} x > 4\}
B.
{x∣x<0或x>4}\{x\mid x < 0 \text{或} x > 4\}
C.
{x∣x<0或x>6}\{x\mid x < 0 \text{或} x > 6\}
D.
{x∣x<−2或x>2}\{x\mid x < -2 \text{或} x > 2\}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡α=−45\cos \alpha = -\frac{4}{5}，α\alpha 是第三象限的角，则 sin⁡(α+π4)=\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) =（ ）
A.
−7210-\frac{7\sqrt{2}}{10}
B.
7210\frac{7\sqrt{2}}{10}
C.
−210-\frac{\sqrt{2}}{10}
D.
210\frac{\sqrt{2}}{10}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★★☆☆☆
已知平行四边形 ABCDABCD 的三个顶点为 A(−1,2)A(-1,2)，B(3,4)B(3,4)，C(4,−2)C(4,-2)，点 (x,y)(x,y) 在平行四边形 ABCDABCD 的内部，则 z=2x−5yz = 2x - 5y 的取值范围是（ ）
A.
(−14,16)(-14, 16)
B.
(−14,20)(-14, 20)
C.
(−12,18)(-12, 18)
D.
(−12,20)(-12, 20)

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={∣lg⁡x∣,0<x⩽10,−12x+6,x>10,f(x) = \begin{cases} |\lg x|, & 0 < x \leqslant 10,\\ -\frac{1}{2}x + 6, & x > 10, \end{cases}
若 aa，bb，cc 互不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)f(a) = f(b) = f(c)，则 abcabc 的取值范围是（ ）
A.
(1,10)(1,10)
B.
(5,6)(5,6)
C.
(10,12)(10,12)
D.
(20,24)(20,24)

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
圆心位于原点且与直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 相切的圆的方程为______.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 0⩽f(x)⩽10 \leqslant f(x) \leqslant 1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 y=f(x)y = f(x) 及直线 x=0x = 0，x=1x = 1，y=0y = 0 所围成部分的面积 SS，先产生两组（每组 NN 个）区间 [0,1][0,1] 上的均匀随机数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xNx_N 和 y1y_1，y2y_2，⋯\cdots，yNy_N，由此得到 NN 个点 (xi,yi)(x_i, y_i)（i=1i = 1，22，⋯\cdots，NN），再数出其中满足 yi⩽f(xi)y_i \leqslant f(x_i)（i=1i = 1，22，⋯\cdots，NN）的点数 N1N_{1}，那么由随机模拟方法可得 SS 的近似值为______.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______. （填入所有可能的几何体前的编号）
① 三棱锥； ② 四棱锥； ③ 三棱柱； ④ 四棱柱； ⑤ 圆锥； ⑥ 圆柱.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD 为 BCBC 边上一点，BC=3BDBC = 3BD，AD=2AD = \sqrt{2}，∠ADB=135∘\angle ADB = 135^{\circ}. 若 AC=2ABAC = \sqrt{2}AB，则 BD=‾BD =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a3=5a_{3} = 5，a10=−9a_{10} = -9.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 及使得 SnS_{n} 最大的序号 nn 的值.

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CDAB \parallel CD，AC⊥BDAC \perp BD，垂足为 HH，PHPH 是四棱锥的高.
(1) 证明：平面 PAC⊥PAC \perp 平面 PBDPBD； (2) 若 AB=6AB = \sqrt{6}，∠APB=∠ADB=60∘\angle APB = \angle ADB = 60^{\circ}，求四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位500\text{ 位}老年人，结果如下：
(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2) 能否有 99%99\% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3) 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由.
附：
P(K2⩾k)P(K^2\geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\displaystyle K^{2} = \frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 E:x2+y2b2=1E: x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（0<b<10 < b < 1）的左，右焦点，过 F1F_{1} 的直线 ll 与 EE 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AF2∣|AF_{2}|，∣AB∣|AB|，∣BF2∣|BF_{2}| 成等差数列.
(1) 求 ∣AB∣|AB|； (2) 若直线 ll 的斜率为 1，求 bb 的值.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x(ex−1)−ax2f(x) = x(\mathrm{e}^x - 1) - ax^2.
(1) 若 a=12a = \frac{1}{2}，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
如图，已知圆上的弧 AC^=BD^\widehat{AC} = \widehat{BD}，过 CC 点的圆的切线与 BABA 的延长线交于 EE 点，证明：
(1) ∠ACE=∠BCD\angle ACE = \angle BCD； (2) BC2=BE⋅CDBC^{2} = BE\cdot CD.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知直线
C1:{x=1+tcos⁡α,y=tsin⁡α,C_{1}: \begin{cases} x = 1 + t\cos \alpha,\\ y = t\sin \alpha, \end{cases}
（tt 为参数），圆
C2:{x=cos⁡θ,y=sin⁡θ.C_{2}: \begin{cases} x = \cos \theta,\\ y = \sin \theta. \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 当 α=π3\alpha = \frac{\pi}{3} 时，求 C1C_{1} 与 C2C_{2} 的交点坐标； (2) 过坐标原点 OO 作 C1C_{1} 的垂线，垂足为 AA，PP 为 OAOA 的中点，当 α\alpha 变化时，求点 PP 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x−4∣+1f(x) = |2x - 4| + 1.
(1) 画出函数 y=f(x)y = f(x) 的图象； (2) 若不等式 f(x)⩽axf(x) \leqslant ax 的解集非空，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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