若双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{3^2} = 1$ （$a > 0$）的离心率为2，则 $a$ 等于（ ）

已知直线 $x - 2y + 2 = 0$ 经过椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左顶点 $A$ 和上顶点 $D$，椭圆 $C$ 的右顶点为 $B$，点 $S$ 是椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的动点，直线 $AS$，$BS$ 与直线 $l: x = \frac{10}{3}$ 分别交于 $M$，$N$ 两点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 求线段 $MN$ 的长度的最小值； (3) 当线段 $MN$ 的长度最小时，在椭圆 $C$ 上是否存在这样的点 $T$，使得 $\triangle TSB$ 的面积为 $\frac{1}{5}$？ 若存在，确定点 $T$ 的个数. 若不存在，说明理由.