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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若 log⁡2a<0\log_{2} a < 0，(12)b>1\left(\frac{1}{2}\right)^b > 1，则（ ）
A.
a>1a > 1，b>0b > 0
B.
a>1a > 1，b<0b < 0
C.
0<a<10 < a < 1，b>0b > 0
D.
0<a<10 < a < 1，b<0b < 0

2009 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，“a+b=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = 0”是“a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
将函数 y=sin⁡xy = \sin x 的图象向左平移 φ\varphi（0⩽φ<2π0 \leqslant \varphi < 2\pi）个单位后，得到函数 y=sin⁡(x−π6)y = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) 的图象，则 φ\varphi 等于（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
5π6\frac{5\pi}{6}
C.
7π6\frac{7\pi}{6}
D.
11π6\frac{11\pi}{6}

2009 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
如图，当参数 λ=λ1\lambda = \lambda_{1}，λ2\lambda_{2} 时，连续函数 y=x1+λxy = \frac{x}{1 + \lambda x}（x⩾0x \geqslant 0）的图象分别对应曲线 C1C_{1} 和 C2C_{2}，则（ ）
A.
0<λ1<λ20 < \lambda_{1} < \lambda_{2}
B.
0<λ2<λ10 < \lambda_{2} < \lambda_{1}
C.
λ1<λ2<0\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0
D.
λ2<λ1<0\lambda_{2} < \lambda_{1} < 0

2009 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 1010 名大学毕业生中选 33 个人担任村长助理，则甲，乙至少有 11 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A.
85
B.
56
C.
49
D.
28

2009 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
已知 DD 是由不等式组
{x−2y⩾0x+3y⩾0\begin{cases} x - 2y \geqslant 0\\ x + 3y \geqslant 0 \end{cases}
所确定的平面区域. 则圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 在区域 DD 内的弧长为（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
3π2\frac{3\pi}{2}

2009 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱上到异面直线 ABAB，CC1CC_{1} 的距离相等的点的个数为（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2009 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内有定义. 对于给定的正数 KK，定义函数
fK(x)={f(x),f(x)⩽K,K,f(x)>K.f_{K}(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \leqslant K,\\ K, & f(x) > K. \end{cases}
取函数 f(x)=2−x−e−xf(x) = 2 - x - \mathrm{e}^{-x}. 若对任意的 x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)，恒有 fK(x)=f(x)f_{K}(x) = f(x)，则（ ）
A.
KK 的最大值为2
B.
KK 的最小值为2
C.
KK 的最大值为1
D.
KK 的最小值为1

2009 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★☆☆☆☆
某班共 3030 人，其中 1515 人喜爱篮球运动，1010 人喜爱乒乓球运动，88 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)3+(1+x)3+(1+x3)3(1 + x)^{3} + (1 + \sqrt{x})^{3} + (1 + \sqrt[3]{x})^{3} 的展开式中，xx 的系数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 2tan⁡x+tan⁡(π2−x)2\tan x + \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 的最小值为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知以双曲线 CC 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为 60∘60^{\circ}，则双曲线 CC 的离心率为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
一个总体分为 AA，BB 两层，其个体数之比为 4:14:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 1010 的样本. 已知 BB 层中甲，乙都被抽到的概率为 128\frac{1}{28}，则总体中的个体数为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
在半径为 1313 的球面上有 AA，BB，CC 三点，AB=6AB = 6，BC=8BC = 8，CA=10CA = 10，则
(1) 球心到平面 ABCABC 的距离为______； (2) 过 AA，BB 两点的大圆面与平面 ABCABC 所成二面角为 （锐角） 的正切值为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
将正 △ABC\triangle ABC 分割成 n2n^2（n⩾2n \geqslant 2，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 n=2n = 2，33 的情形）. 在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 △ABC\triangle ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于33时）都分别依次成等差数列. 若顶点 AA，BB，CC 处的三个数互不相同且和为 11，记所有顶点上的数的和为 f(n)f(n)，则有 f(2)=2f(2) = 2，f(3)=‾f(3) =\underline{\hspace{2em}}，⋯\cdots，f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 2AB→⋅AC→=3∣AB→∣⋅∣AC→∣=3BC22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \sqrt{3} |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| = 3BC^2，求角 AA，BB，CC 的大小.

2009 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程，民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}，16\frac{1}{6}. 现在 33 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
(1) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2) 记 ξ\xi 为 33 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 ξ\xi 的分布列及数学期望.

2009 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=2AA1AB = \sqrt{2}AA_{1}，点 DD 是 A1B1A_{1}B_{1} 的中点，点 EE 在 A1C1A_{1}C_{1} 上，且 DE⊥AEDE \perp AE.
(1) 证明：平面 ADEADE ⊥\perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 求直线 ADAD 和平面 ABC1ABC_{1} 所成角的正弦值.

2009 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米m\text{ 米}，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元256\text{ 万元}，距离为 x 米x\text{ 米} 的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+x)x 万元(2 + \sqrt{x})x\text{ 万元}. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元y\text{ 万元}.
(1) 试写出 yy 关于 xx 的函数关系式； (2) 当 m=640 米m = 640\text{ 米} 时，需新建多少个桥墩才能使 yy 最小？

2009 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到点 F(3,0)F(3,0) 的距离的 44 倍与它到直线 x=2x = 2 的距离的 33 倍之和记为 dd. 当点 PP 运动时，dd 恒等于点 PP 的横坐标与 1818 之和.
(1) 求点 PP 的轨迹 CC； (2) 设过点 FF 的直线 ll 与轨迹 CC 相交于 MM，NN 两点，求线段 MNMN 长度的最大值.

2009 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
对于数列 {un}\{u_n\}，若存在常数 M>0M > 0，对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，恒有 ∣un+1−un∣+∣un−un−1∣+⋯+∣u2−u1∣⩽M|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M，则称数列 {un}\{u_n\} 为 BB-数列.
(1) 首项为 11，公比为 qq（∣q∣<1|q| < 1）的等比数列是否为 BB-数列？请说明理由； (2) 设 SnS_{n} 是数列 {xn}\{x_{n}\} 的前 nn 项和. 给出下列两组论断：
① A 组：数列 {xn}\{x_{n}\} 是 BB-数列； ② A 组：数列 {xn}\{x_{n}\} 不是 BB-数列； ③ B 组：数列 {Sn}\{S_{n}\} 是 BB-数列； ④ B 组：数列 {Sn}\{S_{n}\} 不是 BB-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是 BB-数列，证明：数列 {anbn}\{a_{n}b_{n}\} 也是 BB-数列.

2009 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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