将正 $\triangle ABC$ 分割成 $n^2$（$n \geqslant 2$，$n \in \mathbf{N}^*$）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 $n = 2$，$3$ 的情形）. 在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 $\triangle ABC$ 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于$3$时）都分别依次成等差数列. 若顶点 $A$，$B$，$C$ 处的三个数互不相同且和为 $1$，记所有顶点上的数的和为 $f(n)$，则有 $f(2) = 2$，$f(3) =\underline{\hspace{2em}}$，$\cdots$，$f(n) =\underline{\hspace{2em}}$.

对于数列 $\{u_n\}$，若存在常数 $M > 0$，对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$，恒有 $|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M$，则称数列 $\{u_n\}$ 为 $B$-数列.

(1) 首项为 $1$，公比为 $q$（$|q| < 1$）的等比数列是否为 $B$-数列？请说明理由； (2) 设 $S_{n}$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 给出下列两组论断：

① A 组：数列 $\{x_{n}\}$ 是 $B$-数列； ② A 组：数列 $\{x_{n}\}$ 不是 $B$-数列； ③ B 组：数列 $\{S_{n}\}$ 是 $B$-数列； ④ B 组：数列 $\{S_{n}\}$ 不是 $B$-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 都是 $B$-数列，证明：数列 $\{a_{n}b_{n}\}$ 也是 $B$-数列.