设 $\xi$ 为随机变量，从棱长为 $1$ 的正方体的 $12$ 条棱中任取两条，当两条棱相交时，$\xi=0$；当两条棱平行时，$\xi$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，$\xi=1$.

(1) 求概率 $P(\xi=0)$； (2) 求 $\xi$ 的分布列，并求其数学期望 $E(\xi)$.

设集合 $P_n = \{1,2,\cdots,n\}$，$n \in \mathbf{N}^*$. 记 $f(n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：

① $A \subseteq P_n$； ② 若 $x \in A$，则 $2x \notin A$； ③ 若 $x \in C_{P_n}A$，则 $2x \notin C_{P_n}A$.

(1) 求 $f(4)$； (2) 求 $f(n)$ 的解析式（用 $n$ 表示）.