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01平面向量★☆☆☆☆
已知向量 OA→=(−1,2)\overrightarrow{OA}=(-1,2)，OB→=(3,m)\overrightarrow{OB}=(3,m)，若 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2000 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡22x−13−xy=\log_2\frac{2x-1}{3-x} 的定义域为______.

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03解析几何★☆☆☆☆
圆锥曲线 (x−1)216−y29=1\frac{(x-1)^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 的焦点坐标是______.

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04数列★★☆☆☆
计算：lim⁡n→∞(nn+2)n=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=\underline{\hspace{2em}}.

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 f(x)=2x+bf(x)=2^x+b 的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 的图象经过点 Q(5,2)Q(5,2)，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

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06函数与初等函数★★★☆☆
根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，19991999 年上海市完成 GDP\mathrm{GDP}（GDP\mathrm{GDP} 是指国内生产总值）4035 亿元4035\text{ 亿元}，20002000 年上海市 GDP\mathrm{GDP} 预期增长 9%9\%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%0.08\%，若 GDP\mathrm{GDP} 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDP\mathrm{GDP} 达到或超过 19991999 年的 22 倍，至少需______年\text{年}.按：19991999 年本市常住人口总数约 1300 万1300\text{ 万}.

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07立体几何初步★★☆☆☆
命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题 A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且______的三棱锥是正三棱锥.

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y=f(x) 是最小正周期为 22 的偶函数，它在区间 [0,1][0,1] 上的图象为如图所示的线段 ABAB，则在区间 [1,2][1,2] 上 f(x)=‾f(x)=\underline{\hspace{2em}}.

2000 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (x−1)11(x-1)^{11} 的展开式中，系数最小的项的系数为______. （结果用数值表示）

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10概率与统计★★★☆☆
有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 33 面，在每种颜色的 33 面旗帜上分别标上号码 11、22 和 33，现任取出 33 面，它们的颜色与号码均不相同的概率是______.

2000 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
图中阴影部分的点满足不等式组
{x+y⩽5,2x+y⩽6,x⩾0, y⩾0,\begin{cases} x+y\leqslant 5,\\ 2x+y\leqslant 6,\\ x\geqslant 0,\ y\geqslant 0, \end{cases}
在这些点中，使目标函数 k=6x+8yk = 6x + 8y 取得最大值的点的坐标是______.

2000 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_n\} 中，若 a10=0a_{10}=0，则有等式 a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a19−na_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{19-n}（n<19n<19，n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 {bn}\{b_n\} 中，若 b9=1b_9=1，则有等式______ 成立.

2000 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡(x+π2)y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) 在 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] 上是（ ）
A.
增函数
B.
减函数
C.
偶函数
D.
奇函数

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14立体几何初步★★☆☆☆
设有不同的直线 aa，bb 和不同的平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma，给出下列三个命题：
① 若 a∥αa\parallel \alpha，b∥αb\parallel \alpha，则 a∥ba\parallel b； ② 若 a∥αa\parallel \alpha，a∥βa\parallel \beta，则 α∥β\alpha\parallel \beta； ③ 若 α⊥γ\alpha\perp \gamma，β⊥γ\beta\perp \gamma，则 α∥β\alpha\parallel \beta.
其中正确的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2000 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 S={y∣y=3x, x∈R}S=\{y\mid y=3^x,\ x\in\mathbf{R}\}，T={y∣y=x2−1, x∈R}T=\{y\mid y=x^2-1,\ x\in\mathbf{R}\}，则 S∩TS\cap T 是（ ）
A.
SS
B.
TT
C.
∅\varnothing
D.
有限集

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16三角函数★★★☆☆
下列命题中正确的命题是（ ）
A.
若点 P(a,2a)P(a,2a)（a≠0a\neq 0）为角 α\alpha 终边上一点，则 sin⁡α=255\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}
B.
同时满足 sin⁡α=12\sin\alpha=\frac{1}{2}，cos⁡α=32\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} 的角 α\alpha 有且只有一个
C.
当 ∣a∣<1|a|<1 时，tan⁡(arcsin⁡a)\tan\left(\arcsin a\right) 的值恒正
D.
三角方程 tan⁡(x+π3)=3\tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} 的解集为 {x∣x=kπ, k∈Z}\{x\mid x=k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\}

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17解析几何★★★☆☆
已知椭圆 CC 的焦点分别为 F1(−22,0)F_1(-2\sqrt{2},0) 和 F2(22,0)F_2(2\sqrt{2},0)，长轴长为 66，设直线 y=x+2y=x+2 交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的中点坐标.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图所示四面体 ABCDABCD 中，ABAB，BCBC，BDBD 两两互相垂直，且 AB=BC=2AB=BC=2，EE 是 ACAC 中点，异面直线 ADAD 与 BEBE 所成的角的大小为 arccos⁡1010\arccos\frac{\sqrt{10}}{10}，求四面体 ABCDABCD 的体积.

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2x+axf(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}，x∈[1,+∞)x\in\left[1,+\infty\right).
(1) 当 a=12a=\frac{1}{2} 时，求函数 f(x)f(x) 的最小值； (2) 若对任意 x∈[1,+∞)x\in\left[1,+\infty\right)，f(x)>0f(x)>0 恒成立，试求实数 aa 的取值范围.

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20解析几何★★★★☆
根据指令 (r,θ)(r,\theta)（r⩾0r\geqslant 0，−180∘⩽θ⩽180∘-180^{\circ}\leqslant \theta\leqslant 180^{\circ}），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 θ\theta（θ\theta 为正时，按逆时针方向旋转 θ\theta，θ\theta 为负时，按顺时针方向旋转 −θ-\theta），再朝其面对的方向沿直线行走距离 rr.
(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 xx 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点 (4,4)(4,4)； (2) 机器人在完成该指令后，发现在点 (17,0)(17,0) 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 22 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令.（结果精确到小数点后两位）

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21数列★★★★★
在 xOyxOy 平面上有一点列 P1(a1,b1)P_1(a_1,b_1)， P2(a2,b2)\ P_2(a_2,b_2)， ⋯\ \cdots， Pn(an,bn)\ P_n(a_n,b_n)， ⋯\ \cdots，对每个自然数 nn，点 PnP_n 位于函数 y=2000⋅(a10)xy=2000\cdot \left(\frac{a}{10}\right)^x（0<a<100<a<10）的图象上，且点 PnP_n，点 (n,0)(n,0) 与点 (n+1,0)(n+1,0) 构成一个以 PnP_n 为顶点的等腰三角形.
(1) 求点 PnP_n 的纵坐标 bnb_n 的表达式； (2) 若对每个自然数 nn，以 bnb_n， bn+1\ b_{n+1}， bn+2\ b_{n+2} 为边长能构成一个三角形，求 aa 取值范围； (3) 设 cn=lg⁡(bn)c_n=\lg(b_n)（n∈Nn\in\mathbf{N}），若 aa 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列 {cn}\{c_n\} 前多少项的和最大？试说明理由.

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22复数★★★☆☆
已知复数 z0=1−miz_0=1-m\mathrm{i}（m>0m>0），z=x+yiz=x+y\mathrm{i} 和 ω=x′+y′i\omega=x'+y'\mathrm{i}，其中 xx，yy，x′x'，y′y' 均为实数，i\mathrm{i} 为虚数单位，且对于任意复数 zz，有 ω=z0‾⋅z‾\omega=\overline{z_0}\cdot\overline{z}， ∣ω∣=2∣z∣\ |\omega|=2|z|.
(1) 试求 mm 的值，并分别写出 x′x' 和 y′y' 用 xx，yy 表示的关系式； (2) 将 (x,y)(x,y) 作为点 PP 的坐标，(x′,y′)(x',y') 作为点 QQ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 PP 变到这一平面上的点 QQ，已知点 PP 经该变换后得到的点 QQ 的坐标为 (3,2)(\sqrt{3},2)，试求点 PP 的坐标； (3) 若直线 y=kxy=kx 上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求 kk 的值.

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