计算：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=\underline{\hspace{2em}}$.

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_{10}=0$，则有等式 $a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+a_2+\cdots+a_{19-n}$（$n<19$，$n\in\mathbf{N}^{*}$）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 $\{b_n\}$ 中，若 $b_9=1$，则有等式______ 成立.

在 $xOy$ 平面上有一点列 $P_1(a_1,b_1)$，$\ P_2(a_2,b_2)$，$\ \cdots$，$\ P_n(a_n,b_n)$，$\ \cdots$，对每个自然数 $n$，点 $P_n$ 位于函数 $y=2000\cdot \left(\frac{a}{10}\right)^x$（$0<a<10$）的图象上，且点 $P_n$，点 $(n,0)$ 与点 $(n+1,0)$ 构成一个以 $P_n$ 为顶点的等腰三角形.

(1) 求点 $P_n$ 的纵坐标 $b_n$ 的表达式； (2) 若对每个自然数 $n$，以 $b_n$，$\ b_{n+1}$，$\ b_{n+2}$ 为边长能构成一个三角形，求 $a$ 取值范围； (3) 设 $c_n=\lg(b_n)$（$n\in\mathbf{N}$），若 $a$ 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列 $\{c_n\}$ 前多少项的和最大？试说明理由.