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01复数★☆☆☆☆
复数 z1=3+iz_1=3+\mathrm{i}，z2=1−iz_2=1-\mathrm{i}，则 z=z1z2z=z_1z_2 在复平面内的对应点位于（\quad）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 I={a,b,c,d,e}I=\{a,b,c,d,e\}，集合 M={a,c,d}M=\{a,c,d\}，N={b,d,e}N=\{b,d,e\}，那么 M‾∩N‾\overline{M}\cap\overline{N} 是（\quad）
A.
∅\varnothing
B.
{d}\{d\}
C.
{a,c}\{a,c\}
D.
{b,e}\{b,e\}

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03解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2b2−y2a2=1\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（\quad）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
32\frac{3}{2}

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列方程关于 x=yx = y 对称的是（\quad）
A.
x2−x+y2=1x^{2} - x + y^{2} = 1
B.
x2y+xy2=1x^{2}y + xy^{2} = 1
C.
x−y=1x - y = 1
D.
x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1

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05立体几何初步★☆☆☆☆
一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（\quad）
A.
1:31:3
B.
2:32:3
C.
1:21:2
D.
2:92:9

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06解析几何★★☆☆☆
直线 (3−2)x+y=3(\sqrt{3} - \sqrt{2})x + y = 3 和直线 x+(2−3)y=2x + (\sqrt{2} - \sqrt{3})y = 2 的位置关系是（\quad）
A.
相交但不垂直
B.
垂直
C.
平行
D.
重合

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=lg⁡∣x∣y=\lg|x|（\quad）
A.
是偶函数，在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递增
B.
是偶函数，在区间 (−∞,0)(-\infty,0) 上单调递减
C.
是奇函数，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增
D.
是奇函数，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
从单词“equation”选取 55 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（\quad）
A.
120120 个
B.
480480 个
C.
720720 个
D.
840840 个

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09解析几何★★☆☆☆
椭圆短轴长是 22，长轴长是短轴的 22 倍，则椭圆中心到其准线距离是（\quad）
A.
855\frac{8}{5}\sqrt{5}
B.
455\frac{4}{5}\sqrt{5}
C.
833\frac{8}{3}\sqrt{3}
D.
433\frac{4}{3}\sqrt{3}

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10三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡x+cos⁡x+2y=\sin x+\cos x+2 的最小值是（\quad）
A.
2−22 - \sqrt{2}
B.
2+22 + \sqrt{2}
C.
00
D.
11

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11复数★★★☆☆
设复数 z1=−1−iz_1=-1-\mathrm{i} 在复平面上对应向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_1}，将 OZ1→\overrightarrow{OZ_1} 按顺时针方向旋转 5π6\frac{5\pi}{6} 后得到向量 OZ2→\overrightarrow{OZ_2}. 令 OZ2→\overrightarrow{OZ_2} 对应的复数为 z2z_2，z2z_2 的辐角主值为 θ\theta，则 tan⁡θ=\tan\theta=（\quad）
A.
2−32 - \sqrt{3}
B.
−2+3-2+\sqrt{3}
C.
2+32 + \sqrt{3}
D.
−2−3-2-\sqrt{3}

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12三角函数★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（\quad）
A.
tan⁡αtan⁡β<1\tan \alpha \tan \beta < 1
B.
sin⁡α+sin⁡β<2\sin \alpha + \sin \beta < \sqrt{2}
C.
cos⁡α+cos⁡β>1\cos \alpha + \cos \beta > 1
D.
12tan⁡(α+β)<tan⁡α+β2\frac{1}{2}\tan\left(\alpha+\beta\right)<\tan\frac{\alpha+\beta}{2}

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13数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+a2+a3+⋯+a101=0a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{101}=0，则有（\quad）
A.
a1+a101>0a_{1} + a_{101} > 0
B.
a2+a100<0a_2 + a_{100} < 0
C.
a3+a99=0a_{3} + a_{99} = 0
D.
a51=51a_{51} = 51

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的图象如图，则（\quad）
A.
b∈(−∞,0)b\in(-\infty,0)
B.
b∈(0,1)b\in(0,1)
C.
b∈(1,2)b\in(1,2)
D.
b∈(2,+∞)b\in(2,+\infty)

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15三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡(2π3x+π4)y=\cos\left(\frac{2\pi}{3}x+\frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期是______.

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
已知一体积为 7272 的正四面体，连结两个面的重心 EE，FF，则线段 EFEF 的长是______.

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17计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−1x3)10\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{10} 展开式中的常数项是______.

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18立体几何初步★★☆☆☆
在空间，下列命题正确的是______.
① 如果两直线 aa，bb 分别与直线 ll 平行，那么 a∥ba \parallel b； ② 如果直线 aa 与平面 β\beta 内的一条直线 bb 平行，那么 a∥βa \parallel \beta； ③ 如果直线 aa 与平面 β\beta 内的两条直线 bb，cc 都垂直，那么 a⊥βa \perp \beta； ④ 如果平面 β\beta 内的一条直线 aa 垂直平面 γ\gamma，那么 β⊥γ\beta \perp \gamma.

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19函数与初等函数★★☆☆☆
已知二次函数 f(x)=(lg⁡a)x2+2x+4lg⁡af(x)=(\lg a)x^2+2x+4\lg a 的最大值为 33，求 aa 的值.

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20三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc，证明：a2−b2c2=sin⁡(A−B)sin⁡C\frac{a^2-b^2}{c^2}=\frac{\sin(A-B)}{\sin C}.

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21立体几何初步★★★★☆
在直角梯形 ABCDABCD 中，∠D=∠BAD=90∘\angle D=\angle BAD=90^\circ，AD=DC=12AB=aAD=DC=\frac{1}{2}AB=a（如图一）. 将 △ADC\triangle ADC 沿 ACAC 折起，使 DD 到 D′D'. 记面 ACD′ACD' 为 α\alpha，面 ABCABC 为 β\beta，而面 BCD′BCD' 为 γ\gamma.
(1) 若二面角 α−AC−β\alpha-AC-\beta 为直二面角（如图二），求二面角 β−BC−γ\beta-BC-\gamma 的大小； (2) 若二面角 α−AC−β\alpha-AC-\beta 为 60∘60^\circ（如图三），求三棱锥 D′−ABCD'-ABC 的体积.

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22数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差和等比数列 {bn}\{b_n\} 的公比相等，且都等于 dd（d>0d>0，d≠1d\neq1），若 a1=b1a_1=b_1，a3=3b3a_3=3b_3，a5=5b5a_5=5b_5，求 ana_n，bnb_n.

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
如图，设点 AA 和 BB 为抛物线 y2=4pxy^2=4px（p>0p>0）上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OBOA\perp OB，OM⊥ABOM\perp AB. 求点 MM 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

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24函数与初等函数★★★★☆
某地区上年度电价为 0.8 元(kW⋅h)0.8\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW\cdot h})}，年用电量为 a kW⋅ha\mathrm{~kW\cdot h}. 本年度计划将电价降到 0.55 元(kW⋅h)0.55\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW\cdot h})} 至 0.75 元(kW⋅h)0.75\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW\cdot h})} 之间，而用户期望电价为 0.4 元(kW⋅h)0.4\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW\cdot h})}. 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 kk）. 该地区电力的成本为 0.3 元(kW⋅h)0.3\frac{\text{ 元}}{(\mathrm{kW\cdot h})}.
(1) 写出本年度电价下调后，电力部门的收益 yy 与实际电价 xx 的函数关系式； (2) 设 k=0.2ak = 0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%20\%.
注：收益 == 实际用电量 ×\times （实际电价 −- 成本价）.

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