圆 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 3 = 0$ 的圆心到直线 $x - y = 1$ 的距离为（ ）

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $|PF_1| = 4|PF_2|$. 则双曲线的离心率 $e$ 的最大值为（ ）

设 $p > 0$ 是一常数，过点 $Q(2p,0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 2px$ 交于相异两点 $A$，$B$，以线段 $AB$ 为直径作圆 $H$（$H$ 为圆心）. 试证抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上，并求圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程.