已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 的渐近线与椭圆 $C$ 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 $16$，则椭圆 $C$ 的方程为（ ）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^2 = 2py$ （$p > 0$） 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M$，$F$，$O$ 三点的圆的圆心为 $Q$，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程； (2) 是否存在点 $M$，使得直线 $MQ$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$？ 若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$，直线 $l: y = kx + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A$，$B$，$l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D$，$E$，求当 $\frac{1}{2} \leqslant k \leqslant 2$ 时，$|AB|^2 + |DE|^2$ 的最小值.