将离心率为 $e_1$ 的双曲线 $C_1$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b$（$a\neq b$）同时增加 $m$（$m>0$）个单位长度，得到离心率为 $e_2$ 的双曲线 $C_2$，则（ ）

如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$，$B$（$B$ 在 $A$ 的上方），且 $|AB|=2$.

(1) 圆 $C$ 的标准方程为______； (2) 过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O\colon x^2+y^2=1$ 相交于 $M$，$N$ 两点，下列三个结论：

① $\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|MA|}{|MB|}$； ② $\dfrac{|NB|}{|NA|}-\dfrac{|MA|}{|MB|}=2$； ③ $\dfrac{|NB|}{|NA|}+\dfrac{|MA|}{|MB|}=2\sqrt2$.

其中正确结论的序号是______.（写出所有正确结论的序号）

如图，$PA$ 是圆的切线，$A$ 为切点，$PBC$ 是圆的割线，且 $BC=3PB$，则 $\dfrac{AB}{AC}=$______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho(\sin\theta-3\cos\theta)=0$，曲线 $C$ 的参数方程为 （$t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，则 $|AB|=$______.

一种作图工具如图 1 所示. $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接，$MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$，$MN=3$. 当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（$D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$. 以 $O$ 为原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.

(1) 求曲线 $C$ 的方程； (2) 设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1\colon x-2y=0$ 和 $l_2\colon x+2y=0$ 分别交于 $P$，$Q$ 两点. 若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.