设 $x\in\mathbf{R}$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数. 若存在实数 $t$，使得 $[t]=1$，$[t^2]=2$，$\cdots$，$[t^n]=n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是（ ）

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n$（$n\in\mathbf{N}_+$），$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^x$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 与 $\mathrm{e}$ 的大小； (2) 计算 $\dfrac{b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，由此推测计算 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明； (3) 令 $c_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}$，数列 $\{a_n\}$，$\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$，$T_n$，证明：$T_n<\mathrm{e} S_n$.