设 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n\in\mathbf{R}$，$n\geqslant3$. 若 $p$：$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 成等比数列；$q$：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2)(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2)=(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)^2$，则（ ）

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$. 已知 $b_1=a_1$，$b_2=2$，$q=d$，$S_{10}=100$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 当 $d>1$ 时，记 $c_n=\dfrac{a_n}{b_n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n$（$n\in\mathbf{N}_+$），$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^x$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 与 $\mathrm{e}$ 的大小； (2) 计算 $\dfrac{b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，由此推测计算 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明； (3) 令 $c_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}$，数列 $\{a_n\}$，$\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$，$T_n$，证明：$T_n<\mathrm{e} S_n$.