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01平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(1,1)\boldsymbol{a} = \left(1,1\right)，b=(−1,1)\boldsymbol{b} = \left(-1,1\right)，c=(4,2)\boldsymbol{c} = \left(4,2\right)，则 c=\boldsymbol{c} =（ ）
A.
3a+b3\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}
B.
3a−b3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}
C.
−a+3b-\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}
D.
a+3b\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}

2009 · 湖北 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1−2x1+2xy = \frac{1 - 2x}{1 + 2x}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−12x \neq -\frac{1}{2}）的反函数是（ ）
A.
y=1+2x1−2xy = \frac{1 + 2x}{1 - 2x}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠12x \neq \frac{1}{2}）
B.
y=1−2x1+2xy = \frac{1 - 2x}{1 + 2x}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−12x \neq -\frac{1}{2}）
C.
y=1+x2(1−x)y = \frac{1 + x}{2\left(1 - x\right)}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠1x \neq 1）
D.
y=1−x2(1+x)y = \frac{1 - x}{2\left(1 + x\right)}（x∈Rx \in \mathbf{R}，x≠−1x \neq -1）

2009 · 湖北 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
“sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2}”是“cos⁡2α=12\cos 2\alpha = \frac{1}{2}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 55 名志愿者中选派 44 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A.
120 种120\text{ 种}
B.
96 种96\text{ 种}
C.
60 种60\text{ 种}
D.
48 种48\text{ 种}

2009 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x22−y22=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1 的准线经过椭圆 x24+y2b2=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1（b>0b > 0）的焦点，则 b=b =（ ）
A.
33
B.
5\sqrt{5}
C.
3\sqrt{3}
D.
2\sqrt{2}

2009 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，∠ACC1=60∘\angle ACC_{1} = 60^{\circ}，∠BCC1=45∘\angle BCC_{1} = 45^{\circ}，侧棱 CC1CC_{1} 的长为 11，则该三棱柱的高等于（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2009 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
函数 y=cos⁡(2x+π6)−2y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - 2 的图象 FF 按向量 a\boldsymbol{a} 平移到 F′F'，F′F' 的解析式 y=f(x)y = f(x)，当 y=f(x)y = f(x) 为奇函数时，向量 a\boldsymbol{a} 可以等于（ ）
A.
(π6,−2)\left(\frac{\pi}{6}, -2\right)
B.
(π6,2)\left(\frac{\pi}{6}, 2\right)
C.
(−π6,−2)\left(-\frac{\pi}{6}, -2\right)
D.
(−π6,2)\left(-\frac{\pi}{6}, 2\right)

2009 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台100\text{ 台}洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆4\text{ 辆}甲型货车和 8 辆8\text{ 辆}乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元400\text{ 元}，可装洗衣机 20 台20\text{ 台}；每辆乙型货车运输费用 300 元300\text{ 元}，可装洗衣机 10 台10\text{ 台}，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A.
2000 元2000\text{ 元}
B.
2200 元2200\text{ 元}
C.
2400 元2400\text{ 元}
D.
2800 元2800\text{ 元}

2009 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记不超过 xx 的最大整数为 [x][x]，令 {x}=x−[x]\{x\} = x - [x]，则 {5+12}\left\{\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right\}，[5+12]\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]，5+12\frac{\sqrt{5}+1}{2}（ ）
A.
是等差数列但不是等比数列
B.
是等比数列但不是等差数列
C.
既是等差数列又是等比数列
D.
既不是等差数列也不是等比数列

2009 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★★☆☆
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的11，33，66，1010，⋯\cdots，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的11，44，99，1616，⋯\cdots这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
 to 
 0.4
 to
A.
289289
B.
10241024
C.
12251225
D.
13781378

2009 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
已知 (1+ax)5=1+10x+bx2+⋯+a5x5(1 + ax)^{5} = 1 + 10x + bx^{2} + \cdots + a^{5}x^{5}，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.80.8，0.60.6，0.50.5，则三人都达标的概率是______，三人中至少有一人达标的概率是______.

2009 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣log⁡2x<1}A = \{x \mid \log_2 x < 1\}，B={x∣x−1x+2<1}B = \left\{x \mid \frac{x - 1}{x + 2} < 1\right\}，则 A∩B=‾A \cap B=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
过原点 OO 作圆 x2+y2−6x−8y+20=0x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 20 = 0 的两条切线，设切点分别为 PP，QQ，则线段 PQPQ 的长为______.

2009 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★☆☆☆☆
下图是样本容量为 200200 的频率分布直方图.
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在 [6,10)[6,10) 内的频数为______，数据落在 [2,10)[2,10) 内的概率约为______.

2009 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为角 AA，BB，CC 所对的边，且 3a=2csin⁡A\sqrt{3} a = 2c \sin A.
(1) 确定角 CC 的大小； (2) 若 c=7c = \sqrt{7}，且 △ABC\triangle ABC 的面积为 332\frac{3\sqrt{3}}{2}，求 a+ba + b 的值.

2009 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
围建一个面积为 360 m2360 \mathrm{~m}^{2} 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建. 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m2 \mathrm{~m} 的进出口. 如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m45\text{ 元}/\mathrm{m}，新墙的造价为 180 元/m180\text{ 元}/\mathrm{m}. 设利用的旧墙的长度为 xx（单位：m\mathrm{m}），修建此矩形场地围墙的总费用为 yy（单位：元）.
(1) 将 yy 表示为 xx 的函数； (2) 试确定 xx，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最小总费用.

2009 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 的底面是正方形，SD⊥SD \perp 平面 ABCDABCD，SD=AD=aSD = AD = a，点 EE 是 SDSD 上的点，且 DE=λaDE = \lambda a，λ∈(0,1]\lambda \in \left(0,1\right].
(1) 求证：对任意的 λ∈(0,1]\lambda \in \left(0,1\right]，都有 AC⊥BEAC \perp BE； (2) 若二面角 C−AE−DC - AE - D 的大小为 60∘60^{\circ}，求 λ\lambda 的值.

2009 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是一个公差大于 00 的等差数列，且满足 a3a6=55a_{3}a_{6} = 55，a2+a7=16a_{2} + a_{7} = 16.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_{n}\} 和数列 {bn}\{b_{n}\} 满足等式：an=b12+b222+b323+⋯+bn2na_{n} = \frac{b_{1}}{2} + \frac{b_{2}}{2^{2}} + \frac{b_{3}}{2^{3}} + \cdots + \frac{b_{n}}{2^{n}}（nn 为正整数）. 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2009 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点 FF 的直线与抛物线相交于 MM，NN 两点，自 MM，NN 向准线 ll 作垂线，垂足分别为 M1M_{1}，N1N_{1}.
(1) 求证：FM1⊥FN1FM_{1} \perp FN_{1}； (2) 记 △FMM1\triangle FMM_{1}，△FM1N1\triangle FM_{1}N_{1}，△FNN1\triangle FNN_{1} 的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3}，试判断 S22=4S1S3S_{2}^{2} = 4S_{1}S_{3} 是否成立，并证明你的结论.

2009 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知关于 xx 的函数 f(x)=−13x3+bx2+cx+bcf(x) = -\frac{1}{3} x^{3} + bx^{2} + cx + bc，其导函数为 f′(x)f'(x). 令 g(x)=∣f′(x)∣g(x) = |f'(x)|，记函数 g(x)g(x) 在区间 [−1,1][-1,1] 上的最大值为 MM.
(1) 如果函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处有极值 −43-\frac{4}{3}，试确定 bb，cc 的值； (2) 若 ∣b∣>1|b| > 1，证明对任意的 cc，都有 M>2M > 2； (3) 若 M⩾kM \geqslant k 对任意的 bb，cc 恒成立. 试求 kk 的最大值.

2009 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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