已知关于 $x$ 的函数 $f(x) = -\frac{1}{3} x^{3} + bx^{2} + cx + bc$，其导函数为 $f'(x)$. 令 $g(x) = |f'(x)|$，记函数 $g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值为 $M$.

(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$，试确定 $b$，$c$ 的值； (2) 若 $|b| > 1$，证明对任意的 $c$，都有 $M > 2$； (3) 若 $M \geqslant k$ 对任意的 $b$，$c$ 恒成立. 试求 $k$ 的最大值.