设函数 $f(x)=x+k\ln(1+x)$（$k\ne 0$），直线 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$（$t>0$）处的切线.

(1) 当 $k=-1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 求证：$l$ 不经过点 $(0,0)$； (3) 当 $k=1$ 时，设点 $A(t,f(t))$（$t>0$），$C(0,f(t))$，$O(0,0)$，$B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点，$S_{\triangle ACO}$ 与 $S_{\triangle ABO}$ 分别表示 $\triangle ACO$ 与 $\triangle ABO$ 的面积. 是否存在点 $A$ 使得 $2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO}$ 成立？若存在，这样的点 $A$ 有几个？

（参考数据：$1.09<\ln 3<1.10$，$1.60<\ln 5<1.61$，$1.94<\ln 7<1.95$）