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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U=RU = \mathbf{R}，集合 M={x∣∣x−1∣⩽2}M = \{x \mid |x - 1| \leqslant 2\}，则 ∁UM=\complement_U M =（ ）
A.
{x∣−1<x<3}\{x \mid -1 < x < 3\}
B.
{x∣−1⩽x⩽3}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}
C.
{x∣x<−1 或 x>3}\{x \mid x < -1\text{ 或 }x > 3\}
D.
{x∣x⩽−1 或 x⩾3}\{x\mid x\leqslant -1\text{ 或 }x\geqslant 3\}

2010 · 山东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 a+2ii=b+i\frac{a + 2\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = b + \mathrm{i} （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 a+b=a + b =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
22
D.
33

2010 · 山东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
在空间，下列命题正确的是（ ）
A.
平行直线的平行投影重合
B.
平行于同一直线的两个平面平行
C.
垂直于同一平面的两个平面平行
D.
垂直于同一平面的两条直线平行

2010 · 山东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 为定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时， f(x)=2x+2x+bf(x) = 2^{x} + 2x + b （bb 为常数），则 f(−1)=f(-1) =（ ）
A.
33
B.
11
C.
−1-1
D.
−3-3

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05概率与统计★★☆☆☆
已知随机变量 ξ\xi 服从正态分布 N(0,σ2)N(0, \sigma^2). 若 P(ξ>2)=0.023P(\xi > 2) = 0.023，则 P(−2⩽ξ⩽2)=P(-2 \leqslant \xi \leqslant 2) =（ ）
A.
0.4770.477
B.
0.6280.628
C.
0.9540.954
D.
0.9770.977

2010 · 山东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
样本中共有五个个体，其值分别为 aa，00，11，22，33. 若该样本的平均值为 1，则样本方差为（ ）
A.
65\sqrt{\frac{6}{5}}
B.
65\frac{6}{5}
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2010 · 山东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
由曲线 y=x2y = x^2，y=x3y = x^3 围成的封闭图形面积为（ ）
A.
112\frac{1}{12}
B.
14\frac{1}{4}
C.
13\frac{1}{3}
D.
712\frac{7}{12}

2010 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
某台小型晚会由 6 个节目组成. 演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A.
36 种36\text{ 种}
B.
42 种42\text{ 种}
C.
48 种48\text{ 种}
D.
54 种54\text{ 种}

2010 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，则 a1<a2<a3a_{1} < a_{2} < a_{3} 是“数列 {an}\{a_{n}\} 是递增数列”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+2⩾0,x−5y+10⩽0,x+y−8⩽0,\begin{cases} x - y + 2 \geqslant 0,\\ x - 5y + 10 \leqslant 0,\\ x + y - 8 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=3x−4yz = 3x - 4y 的最大值和最小值分别为（ ）
A.
33，−11-11
B.
−3-3，−11-11
C.
1111，−3-3
D.
1111，33

2010 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=2x−x2y = 2^{x} - x^{2} 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
定义平面向量之间的一种运算“⊙\odot”如下：对任意的 a=(m,n)\boldsymbol{a} = (m, n)，b=(p,q)\boldsymbol{b} = (p, q). 令 a⊙b=mq−np\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = mq - np. 下面说法错误的是（ ）
A.
若 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 共线，则 a⊙b=0\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = 0
B.
a⊙b=b⊙a\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \odot \boldsymbol{a}
C.
对任意的 λ∈R\lambda \in \mathbf{R}，有 (λa)⊙b=λ(a⊙b)(\lambda \boldsymbol{a}) \odot \boldsymbol{b} = \lambda (\boldsymbol{a} \odot \boldsymbol{b})
D.
(a⊙b)2+(a⋅b)2=∣a∣2∣b∣2(\boldsymbol{a}\odot \boldsymbol{b})^2 + (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2 |\boldsymbol{b}|^2

2010 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 x=10x = 10，则输出 yy 的值为______.

2010 · 山东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
若对任意 x>0x > 0，xx2+3x+1⩽a\frac{x}{x^2 + 3x + 1} \leqslant a 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2010 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 a=2a = \sqrt{2}，b=2b = 2，sin⁡B+cos⁡B=2\sin B + \cos B = \sqrt{2}，则角 AA 的大小为______.

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16解析几何★★★☆☆
已知圆 CC 过点 (1,0)(1,0)，且圆心在 xx 轴的正半轴上，直线 l:y=x−1l: y = x - 1 被圆 CC 所截得的弦长为 222\sqrt{2}，则过圆心且与直线 ll 垂直的直线的方程为______.

2010 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=12sin⁡2xsin⁡φ+cos⁡2xcos⁡φ−12sin⁡(π2+φ)f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x \sin \varphi + \cos^2 x \cos \varphi - \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) （0<φ<π0 < \varphi < \pi），其图象过点 (π6,12)\left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right).
(1) 求 φ\varphi 的值； (2) 将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2}，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 求函数 g(x)g(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2010 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a3=7a_{3} = 7，a5+a7=26a_{5} + a_{7} = 26. 数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 求 ana_{n} 及 SnS_{n}； (2) 令 bn=1an2−1b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2010 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在五棱锥 P−ABCDEP - ABCDE 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDEABCDE，AB∥CDAB \parallel CD，AC∥EDAC \parallel ED，AE∥BCAE \parallel BC，∠ABC=45∘\angle ABC = 45^\circ，AB=22AB = 2\sqrt{2}，BC=2AE=4BC = 2AE = 4，三角形 PABPAB 是等腰三角形.
(1) 求证：平面 PCD⊥PCD \perp 平面 PACPAC； (2) 求直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成角的大小； (3) 求四棱锥 P−ACDEP - ACDE 的体积.

2010 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A，B，C，D 四个问题，规则如下：
(1) 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A，B，C，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分； (2) 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； (3) 每位参加者按问题 A，B，C，D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 A，B，C，D 回答正确的概率依次为 34\frac{3}{4}，12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}，14\frac{1}{4}，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1) 求甲同学能进入下一轮的概率； (2) 用 ξ\xi 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点 F1F_1，F2F_2 为顶点的三角形的周长为 4(2+1)4(\sqrt{2} + 1). 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点. 设 PP 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1PF_1 和 PF2PF_2 与椭圆的交点分别为 AA，BB 和 CC，DD.
(1) 求椭圆和双曲线的标准方程； (2) 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，证明：k1⋅k2=1k_{1} \cdot k_{2} = 1； (3) 是否存在常数 λ\lambda，使得 ∣AB∣+∣CD∣=λ∣AB∣⋅∣CD∣|AB| + |CD| = \lambda |AB| \cdot |CD| 恒成立？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2010 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x−ax+1−ax−1f(x) = \ln x - ax + \frac{1 - a}{x} - 1 （a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a⩽12a \leqslant \frac{1}{2} 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 g(x)=x2−2bx+4g(x) = x^{2} - 2bx + 4，当 a=14a = \frac{1}{4} 时，若对任意 x1∈(0,2)x_1 \in (0, 2)，存在 x2∈[1,2]x_2 \in [1, 2]，使 f(x1)⩾g(x2)f(x_1) \geqslant g(x_2)，求实数 bb 的取值范围.

2010 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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