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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简下式：(1−c2)−12−{[(1+c)(1−c)]12+c2((1+c)(1−c))−12}\left( 1-c^2 \right)^{- \frac{1}{2}}-\left\{ \left[ \left( 1+c \right)\left( 1-c \right) \right]^{\frac{1}{2}}+c^2\left( \left( 1+c \right)\left( 1-c \right) \right)^{- \frac{1}{2}} \right\}.

1977 · 河南 · 第 1 题 · 解答题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
求 lg⁡3+lg⁡214lg⁡16+(lg⁡1−lg⁡10)2+12lg⁡0.09\frac{\lg 3+\lg 2}{\frac{1}{4}\lg 16+\sqrt{\left( \lg 1-\lg 10 \right)^2}+\frac{1}{2}\lg 0.09} 的值.

1977 · 河南 · 第 2 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
求等式 5x2−2x=1255^{x^2-2x}=125 中 xx 的值.

1977 · 河南 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc 分别表示 △ABC\triangle ABC 的角 AA，BB，CC 对边的长，求证：a(sin⁡B−sin⁡C)+b(sin⁡C−sin⁡A)+c(sin⁡A−sin⁡B)=0a\left( \sin B-\sin C \right)+b\left( \sin C-\sin A \right)+c\left( \sin A-\sin B \right)=0.

1977 · 河南 · 第 4 题 · 解答题

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05平面向量★★★☆☆
如图，已知正方形 ABCDABCD 的边 CDCD 上任意一点 EE，延长 BCBC 到 FF，使 CF=CECF=CE，设 BEBE 与 DFDF 相交于 GG，求证 BG⊥DFBG \perp DF.

1977 · 河南 · 第 5 题 · 解答题

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06三角函数★★★☆☆
求证：tan⁡2α−cot⁡2α=−2sin⁡4αsin⁡32α\tan^2\alpha-\cot^2\alpha=-\frac{2\sin 4\alpha}{\sin^3 2\alpha}.

1977 · 河南 · 第 6 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知长方体的对角线长为 LL，它与底面所成的角为 α\alpha，底面两条对角线的夹角为 β\beta，求长方体的体积.

1977 · 河南 · 第 7 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
某工厂科研小组，对一项生产工艺过程总结出产量指标函数和消耗函数为：f1(x)=a1x2+12x+cf_1(x)=a_1x^2+\frac{1}{2}x+c 和 f2(x)=a2x2+bx+54f_2(x)=a_2x^2+bx+\frac{5}{4}. 且知 f1(−1)=f2(−1)=f1(3)=f2(3)=2f_1(-1)=f_2(-1)=f_1(3)=f_2(3)=2.
(1) 分别求出产量指标函数 f1(x)f_1(x) 和消耗函数 f2(x)f_2(x) 的具体表达式； (2) 问因素 xx 取何值时，f1(x)f_1(x) 和 f2(x)f_2(x) 有最大值或最小值？最大值或最小值各是多少？ (3) 画出所求出函数的略图.

1977 · 河南 · 第 8 题 · 解答题

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09解析几何★★★☆☆
已知过点 P(0,32)P\left( 0,3\sqrt{2} \right) 且斜率为 kk 的直线与圆心在原点，半径为 33 的圆相交于 MM，NN 两点.
(1) 求 MM，NN 的坐标； (2) 问当 MM，NN 两点重合时，kk 为何值？过 PP 点的直线与圆的位置关系如何？这样的直线有几条？它们的夹角是多大？

1977 · 河南 · 第 9 题 · 解答题

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10数列★★★★☆
某电管所为实现农业现代化，加强电力网的建设，沿着一条通往农村的新公路栽电杆. 已知一辆汽车每次从电管所运 33 根电线杆，相邻两根电线杆相距 50 m50\mathrm{~m}，汽车往返的总行程是 35.5 km35.5\mathrm{~km}，最后一根电线杆与电管所相距 2450 m2450\mathrm{~m}.
(1) 第一根电线杆与电管所相距多少？ (2) 共栽了多少根电线杆？

1977 · 河南 · 第 10 题 · 解答题

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11复数★★★☆☆
已知 x+x−1=2cos⁡θx+x^{-1}=2\cos\theta，求证 xn+x−n=2cos⁡nθx^n+x^{-n}=2\cos n\theta.

1977 · 河南 · 第 11 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★☆☆
(1) 设 y=ln⁡(x+x2−a2)y=\ln\left( x+\sqrt{x^2-a^2} \right)，求 yy 的导数 y′y'. (2) 求 ∫02p2px dx\int_0^{2p}\sqrt{2px}\,\mathrm{d}x 的值.

1977 · 河南 · 第 12 题 · 解答题

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