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01函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} 的定义域为 MM，g(x)=ln⁡(1+x)g(x) = \ln (1 + x) 的定义域为 NN，则 M∩N=M \cap N =（ ）
A.
{x∣x>−1}\{x \mid x > -1\}
B.
{x∣x<1}\{x \mid x < 1\}
C.
{x∣−1<x<1}\{x \mid -1 < x < 1\}
D.
∅\varnothing

2007 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 (1+bi)(2+i)(1 + b\mathrm{i})(2 + \mathrm{i}) 是纯虚数（i\mathrm{i} 是虚数单位，bb 是实数），则 b=b =（ ）
A.
22
B.
12\frac{1}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
−2-2

2007 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=sin⁡2x−12f(x) = \sin^2 x - \frac{1}{2}（x∈Rx \in \mathbf{R}），则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
B.
最小正周期为 π\pi 的奇函数
C.
最小正周期为 2π2\pi 的偶函数
D.
最小正周期为 π\pi 的偶函数

2007 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
客车从甲地以 60 km/h60 \, \mathrm{km/h} 的速度匀速行驶 11 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80 km/h80 \, \mathrm{km/h} 的速度匀速行驶 11 小时到达丙地. 下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 ss 与时间 tt 之间关系的图象中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2007 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=n2−9nS_{n} = n^{2} - 9n，第 kk 项满足 5<ak<85 < a_{k} < 8，则 k=k =（ ）
A.
99
B.
88
C.
77
D.
66

2007 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 A1A_{1}，A2A_{2}，…\dots，A10A_{10} （如 A2A_{2} 表示身高（单位：cm\mathrm{cm}）在 [150,155)[150, 155) 内的学生人数）. 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 160∼180 cm160 \sim 180 \mathrm{~cm} （含 160 cm160 \mathrm{~cm}，不含 180 cm180 \mathrm{~cm}）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A.
i<6i < 6
B.
i<7i < 7
C.
i<8i < 8
D.
i<9i < 9

2007 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★★☆
如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 AA，BB，CC，DD 四个维修点某种配件各 5050 件. 在使用前发现需将 AA，BB，CC，DD 四个维修点的这批配件分别调整为 4040，4545，5454，6161 件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（nn 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 nn）为（ ）
A.
1515
B.
1616
C.
1717
D.
1818

2007 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设 SS 是至少含有两个元素的集合. 在 SS 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的 aa，b∈Sb \in S，对于有序元素对 (a,b)(a, b)，在 SS 中有唯一确定的元素 a∗ba*b 与之对应）. 若对任意的 aa，b∈Sb \in S，有 a∗(b∗a)=ba*(b*a)=b，则对任意的 aa，b∈Sb \in S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
(a∗b)∗a=a(a*b)*a = a
B.
[a∗(b∗a)]∗(a∗b)=a[a * (b * a)] * (a * b) = a
C.
b∗(b∗b)=bb*(b*b)=b
D.
(a∗b)∗[b∗(a∗b)]=b(a*b)*[b*(a*b)] = b

2007 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★☆☆☆☆
甲，乙两个袋中装有红，白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同. 其中甲袋装有44个红球，22个白球，乙袋装有11个红球，55个白球. 现分别从甲，乙两袋中各随机取出11个球，则取出的两球是红球的概率为______. （答案用分数表示）

2007 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★☆☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，则 a⋅a+a⋅b=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =______.

2007 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，有一定点 A(2,1)A(2,1). 若线段 OAOA 的垂直平分线过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点，则该抛物线的准线方程是______.

2007 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
如果一个凸多面体是 nn 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有______ 条. 这些直线中共有 f(n)f(n) 对异面直线，则 f(4)=‾f(4) =\underline{\hspace{2em}}； f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}（答案用数字或 nn 的解析式表示）

2007 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为
{x=t+3,y=3−t,\begin{cases} x = t + 3,\\ y = 3 - t, \end{cases}
（参数 t∈Rt \in \mathbf{R}），圆 CC 的参数方程为
{x=2cos⁡θ,y=2sin⁡θ+2,\begin{cases} x = 2\cos \theta,\\ y = 2\sin \theta + 2, \end{cases}
（参数 θ∈[0,2π]\theta \in [0, 2\pi]），则圆 CC 的圆心坐标为______，圆心到直线 ll 的距离为______.

2007 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣2x−1∣+x+3f(x) = |2x - 1| + x + 3，则 f(−2)=‾f(-2) =\underline{\hspace{2em}}；若 f(x)⩽5f(x) \leqslant 5，则 xx 的取值范围是______.

2007 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图所示，圆 OO 的直径 AB=6AB = 6，CC 为圆周上一点，BC=3BC = 3. 过点 CC 作圆的切线 ll，过 AA 做 ll 的垂线 ADAD，ADAD 分别与直线 ll，圆交于点 DD，EE，则 ∠DAC=\angle DAC =______°，线段 AEAE 的长为______.

2007 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)A(3,4)，B(0,0)B(0,0)，C(c,0)C(c,0).
(1) 若 c=5c = 5，求 sin⁡∠A\sin \angle A 的值； (2) 若 ∠A\angle A 是钝角，求 cc 的取值范围.

2007 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 xx （吨）与相应的生产能耗 yy （吨标准煤）的几组对照数据.
(1) 请画出上表的散点图； (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 yy 关于 xx 的线性回归方程 y=bx+a^y = bx + \hat{a}； (3) 已知该厂技改前 100100 吨甲产品的生产能耗为 9090 吨标准煤. 试根据前一问求出的线性回归方程，预测生产 100100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.53 \times 2.5 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 4.5 = 66.5）

2007 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 222\sqrt{2} 的圆 CC 与直线 y=xy = x 相切于坐标原点 OO. 椭圆 x2a2+y29=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1 与圆 CC 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 1010.
(1) 求圆 CC 的方程； (2) 试探求 CC 上是否存在异于原点的点 QQ，使 QQ 到椭圆右焦点 FF 的距离等于线段 OFOF 的长. 若存在，请求出点 QQ 的坐标. 若不存在，请说明理由.

2007 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图所示，等腰 △ABC\triangle ABC 的底边 AB=66AB = 6\sqrt{6}，高 CD=3CD = 3，点 EE 是线段 BDBD 上异于点 BB，DD 的动点，点 FF 在 BCBC 边上，且 EF⊥ABEF \perp AB. 现沿 EFEF 将 △BEF\triangle BEF 折起到 △PEF\triangle PEF 的位置，使 PE⊥ACPE \perp AC，记 BE=xBE = x，V(x)V(x) 表示四棱锥 P−ACFEP - ACFE 的体积.
(1) 求 V(x)V(x) 的表达式； (2) 当 xx 为何值时，V(x)V(x) 取得最大值？ (3) 当 V(x)V(x) 取得最大值时，求异面直线 ACAC 与 PFPF 所成的余弦值.

2007 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知 aa 是实数，函数 f(x)=2ax2+2x−3−af(x) = 2ax^2 + 2x - 3 - a. 如果函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−1,1][-1, 1] 上有零点，求 aa 的取值范围.

2007 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数. 设 a1=1a_1 = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 证明：对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha； (3) 记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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