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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=sin⁡(2x+π6)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) 的最小正周期是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 正弦函数 y=sin⁡(2x+π6)y=\sin(2x+\frac{\pi}{6}) 的最小正周期为 T=2π∣2∣=πT=\frac{2\pi}{|2|}=\pi，所以选 B. \end{solution}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

2005 · 浙江 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={1,2,3,4,5,6,7}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}，P={1,2,3,4,5}P = \{1, 2, 3, 4, 5\}，Q={3,4,5,6,7}Q = \{3, 4, 5, 6, 7\}，则 P∩(∁UQ)=P \cap (\complement_U Q) =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由全集 UU 可得 ∁UQ={1,2}\complement_U Q=\{1,2\}. 因为 {1,2}⊂P\{1,2\}\subset P，所以 P∩(∁UQ)={1,2}P\cap(\complement_U Q)=\{1,2\}，故选 A. \end{solution}
A.
{1,2}\{1,2\}
B.
{3,4,5}\{3,4,5\}
C.
{1,2,6,7}\{1,2,6,7\}
D.
{1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}

2005 · 浙江 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
点 (1,−1)(1, -1) 到直线 x−y+1=0x - y + 1 = 0 的距离是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 点 (x0,y0)=(1,−1)(x_0,y_0)=(1,-1) 到直线 x−y+1=0x-y+1=0 的距离为 ∣x0−y0+1∣12+(−1)2=∣1−(−1)+1∣2=322\displaystyle \frac{|x_0-y_0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|1-(-1)+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}，所以选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}

2005 · 浙江 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f(x)=∣x−1∣−∣x∣f(x) = |x - 1| - |x|，则 f[f(12)]=f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right] =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 先算 f(12)=∣12−1∣−∣12∣=0f(\frac{1}{2})=|\frac{1}{2}-1|-|\frac{1}{2}|=0，再算 f(0)=∣0−1∣−∣0∣=1f(0)=|0-1|-|0|=1. 因此 f[f(12)]=1f[f(\frac{1}{2})]=1，故选 D. \end{solution}
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
00
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2005 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1−x)5−(1−x)6(1 - x)^{5} - (1 - x)^{6} 的展开式中，含 x3x^{3} 的项的系数是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由二项式定理，(1−x)5(1-x)^5 中 x3x^3 的系数为 C53(−1)3=−10\mathrm C_5^3(-1)^3=-10，(1−x)6(1-x)^6 中 x3x^3 的系数为 C63(−1)3=−20\mathrm C_6^3(-1)^3=-20. 所以原展开式中 x3x^3 的系数为 −10−(−20)=10-10-(-20)=10，故选 D. \end{solution}
A.
−5-5
B.
55
C.
−10-10
D.
1010

2005 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
从存放号码分别为 11，22，⋯\cdots，1010 的卡片的盒子中，有放回地取 100100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 取到奇数号码的次数为 13+5+6+18+11=5313+5+6+18+11=53，试验总次数为 100100，所以取到奇数号码的频率为 53100=0.53\frac{53}{100}=0.53，故选 A. \end{solution}
A.
0.530.53
B.
0.50.5
C.
0.470.47
D.
0.370.37

2005 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，ll，mm 为两条不同的直线，且 l⊂αl \subset \alpha，m⊂βm \subset \beta，有如下的两个命题：
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，则 l∥ml \parallel m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α⊥β\alpha \perp \beta.
那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 第一个命题不正确. 例如取两个平行平面 α:z=0\alpha:z=0 与 β:z=1\beta:z=1，令 ll 为 α\alpha 内的 xx 轴，令 mm 为 β\beta 内方向平行于 yy 轴的直线，则 ll 与 mm 不平行.
第二个命题也不正确. 取 α:z=0\alpha:z=0，β:x=z\beta:x=z，令 ll 为 α\alpha 内的 xx 轴，令 mm 为 β\beta 内的 yy 轴，则 l⊥ml\perp m. 但两平面的法向量可分别取 (0,0,1)(0,0,1) 与 (1,0,−1)(1,0,-1)，它们的数量积为 −1≠0-1\ne0，所以 α\alpha 与 β\beta 不垂直. 因此两个命题都是假命题，选 D. \end{solution}
A.
①是真命题，②是假命题
B.
①是假命题，②是真命题
C.
①②都是真命题
D.
①②都是假命题

2005 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(x−5,3)\boldsymbol{a} = (x - 5, 3)，b=(2,x)\boldsymbol{b} = (2, x)，且 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，则由 xx 值的构成的集合是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，即 2(x−5)+3x=02(x-5)+3x=0. 整理得 5x−10=05x-10=0，所以 x=2x=2，由 xx 的值构成的集合为 {2}\{2\}，故选 C. \end{solution}
A.
{2,3}\{2,3\}
B.
{−1,6}\{-1,6\}
C.
{2}\{2\}
D.
{6}\{6\}

2005 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=ax2+1y = ax^{2} + 1 的图象与直线 y=xy = x 相切，则 a=a =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 抛物线与直线的交点横坐标满足 ax2+1=xax^2+1=x，即 ax2−x+1=0ax^2-x+1=0. 两图象相切时该方程有且只有一个实根，因此判别式满足 Δ=(−1)2−4a=0\Delta=(-1)^2-4a=0，解得 a=14a=\frac{1}{4}，故选 B. \end{solution}
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2005 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣xA = \{(x,y)\mid x，yy，1−x−y1-x-y 是三角形的三边长}\}，则 AA 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 xx，yy，1−x−y1-x-y 是三角形的三边长，所以首先有 x>0x>0，y>0y>0，1−x−y>01-x-y>0，并且三角形的三边还满足 x+y>1−x−yx+y>1-x-y，x+1−x−y>yx+1-x-y>y，y+1−x−y>xy+1-x-y>x. 这些不等式分别化为 x+y>12x+y>\frac{1}{2}，y<12y<\frac{1}{2}，x<12x<\frac{1}{2}. 再结合 x>0x>0，y>0y>0 及 x+y<1x+y<1，所表示的区域为 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2}，x+y>12x+y>\frac{1}{2} 的内部. 其边界为 x=12x=\frac{1}{2}，y=12y=\frac{1}{2} 和 x+y=12x+y=\frac{1}{2}，对应选项 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=xx+2y = \frac{x}{x + 2}（x∈Rx \in \mathbf{R}，且 x≠−2x \neq -2）的反函数是______.
\begin{answer} y=2x1−xy=\frac{2x}{1-x}（x∈Rx\in\mathbf{R}，且 x≠1x\neq1） \end{answer}
\begin{solution} 设原函数的对应关系为 y=xx+2y=\frac{x}{x+2}. 交换 xx，yy 后解出原来的自变量： y(x+2)=xy(x+2)=x，所以 x(y−1)=−2yx(y-1)=-2y，从而 x=2y1−yx=\frac{2y}{1-y}. 因此反函数为 y=2x1−xy=\frac{2x}{1-x}，且其定义域满足 x≠1x\neq1. \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★☆
设 MM，NN 是直角梯形 ABCDABCD 两腰的中点，DE⊥ABDE \perp AB 于 EE （如图）. 现将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起，使二面角 A−DE−BA - DE - B 为 45∘45^\circ，此时点 AA 在平面 BCDEBCDE 内的射影恰为点 BB，则 MM，NN 的连线与 AEAE 所成角的大小等于______.
\begin{answer} 90∘90^\circ \end{answer}
\begin{solution} 设平面 BCDEBCDE 为 z=0z=0，取 DEDE 为 yy 轴，令 E=(0,0,0)E=(0,0,0)，D=(0,d,0)D=(0,d,0)，B=(u,0,0)B=(u,0,0)，C=(u,d,0)C=(u,d,0)，其中 u>0u>0，d>0d>0. 点 AA 在平面 BCDEBCDE 内的射影为 BB，故可设 A=(u,0,v)A=(u,0,v). 二面角 A−DE−BA-DE-B 为 45∘45^\circ，所以在过 EE 且垂直于 DEDE 的截面内，直线 EAEA 与 EBEB 所成的角为 45∘45^\circ. 因而 cos⁡45∘=uu2+v2\displaystyle \cos45^\circ=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}，得 v2=u2v^2=u^2.
由中点坐标公式，MM，NN 分别为 ADAD，BCBC 的中点，所以 M=(u2,d2,v2)\displaystyle M=(\frac{u}{2},\frac{d}{2},\frac{v}{2})，N=(u,d2,0)N=(u,\frac{d}{2},0). 于是 MN→=(u2,0,−v2)\overrightarrow{MN}=(\frac{u}{2},0,-\frac{v}{2})，AE→=(−u,0,−v)\overrightarrow{AE}=(-u,0,-v)，从而 MN→⋅AE→=−u22+v22=0\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AE}=-\frac{u^2}{2}+\frac{v^2}{2}=0. 因此 MN⊥AEMN\perp AE，两直线所成角为 90∘90^\circ. \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
过双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左焦点且垂直于 xx 轴的直线与双曲线相交于 MM，NN 两点，以 MNMN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 记双曲线的半焦距为 cc，则 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，左焦点为 (−c,0)(-c,0). 直线 x=−cx=-c 与双曲线的交点 MM，NN 满足
c2a2−y2b2=1\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
所以 y2=b4a2y^2=\frac{b^4}{a^2}，可设 M=(−c,b2a)M=(-c,\frac{b^2}{a})，N=(−c,−b2a)N=(-c,-\frac{b^2}{a}). 以 MNMN 为直径的圆的圆心为 (−c,0)(-c,0)，半径为 b2a\frac{b^2}{a}. 双曲线右顶点为 (a,0)(a,0)，由该点在圆上，得
a+c=b2aa+c=\frac{b^2}{a}
又因为 b2=c2−a2=(c−a)(c+a)b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)，所以 (c−a)(c+a)a=a+c\displaystyle \frac{(c-a)(c+a)}{a}=a+c. 由于 a+c>0a+c>0，约去 a+ca+c 得 c−a=ac-a=a，即 c=2ac=2a. 因而双曲线的离心率为 e=ca=2e=\frac{c}{a}=2. \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
从集合 {P,Q,R,S}\{P, Q, R, S\} 与 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} 中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）. 每排中字母 QQ 和数字 00 至多只能出现一个的不同排法种数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 58325832 \end{answer}
\begin{solution} 先从 4 个字母中取 2 个，从 10 个数字中取 2 个，再将所取的 4 个元素排列，全部排法数为 C42C1024!=6×45×24=6480\mathrm C_4^2\mathrm C_{10}^2 4!=6\times45\times24=6480.
不符合条件的排法中，字母 QQ 和数字 00 都出现. 此时另取 1 个字母和 1 个数字，排法数为 C31C914!=3×9×24=648\mathrm C_3^1\mathrm C_9^1 4!=3\times9\times24=648. 因此符合条件的排法数为 6480−648=58326480-648=5832. \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2xf(x) = 2\sin x\cos x + \cos 2x.
(1) 求 f(π4)f\left(\frac{\pi}{4}\right) 的值； (2) 设 α∈(0,π)\alpha \in (0, \pi)，f(α2)=22f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}，求 sin⁡α\sin \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二倍角公式，f(x)=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xf(x)=2\sin x\cos x+\cos 2x=\sin 2x+\cos 2x，所以 f(π4)=sin⁡π2+cos⁡π2=1f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}=1.
\item 由二倍角公式，f(α2)=2sin⁡α2cos⁡α2+cos⁡α=sin⁡α+cos⁡α=22f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}. 于是 cos⁡α=22−sin⁡α\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\alpha. 代入 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，得 sin⁡2α+(22−sin⁡α)2=1\sin^2\alpha+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\alpha\right)^2=1，即 2sin⁡2α−2sin⁡α−12=02\sin^2\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}=0. 解得 sin⁡α=2+64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} 或 sin⁡α=2−64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}. 因为 α∈(0,π)\alpha\in(0,\pi)，所以 sin⁡α>0\sin\alpha>0，故 sin⁡α=2+64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知实数 aa，bb，cc 成等差数列，a+1a + 1，b+1b + 1，c+4c + 4 成等比数列. 且 a+b+c=15a + b + c = 15，求 aa，bb，cc.
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又 a+b+c=15a+b+c=15，从而 3b=153b=15，即 b=5b=5.
设等差数列的公差为 dd，则 a=5−da=5-d，c=5+dc=5+d. 由 a+1a+1，b+1b+1，c+4c+4 成等比数列，得 (b+1)2=(a+1)(c+4)(b+1)^2=(a+1)(c+4)，即 36=(6−d)(9+d)=54−3d−d236=(6-d)(9+d)=54-3d-d^2. 所以 d2+3d−18=(d−3)(d+6)=0d^2+3d-18=(d-3)(d+6)=0，故 d=3d=3 或 d=−6d=-6.
当 d=3d=3 时，(a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8)；当 d=−6d=-6 时，(a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). 因此 (a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8) 或 (a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
袋子 AA 和 BB 中装有若干个均匀的红球和白球，从 AA 中摸出一个红球的概率是 13\frac{1}{3}，从 BB 中摸出一个红球的概率为 pp.
(1) 从 AA 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次.
(i) 恰好有 3 次摸到红球的概率； (ii) 第一次，第三次，第五次摸到红球的概率； (2) 若 AA，BB 两个袋子中的球数之比为 1:21:2，将 AA，BB 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 25\frac{2}{5}，求 pp 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 从袋子 AA 中有放回地摸球，所以每次摸到红球的概率均为 13\frac{1}{3}，各次摸球相互独立. \begin{enumerate} \item 恰好有 33 次摸到红球的情况数为 C53\mathrm C_5^3，所以所求概率为
C53(13)3(1−13)2=10⋅127⋅49=40243\mathrm C_5^3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 =10\cdot\frac{1}{27}\cdot\frac{4}{9} =\frac{40}{243}
\item 第一次、第三次、第五次摸到红球，而第二次、第四次摸到何种球均不受限制，所以所求概率为 13⋅13⋅13=127\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}. \end{enumerate}
\item 设袋子 AA 中有 nn 个球，则袋子 BB 中有 2n2n 个球. 袋子 AA 中红球数为 n3\frac{n}{3}，袋子 BB 中红球数为 2np2np. 装在一起后，红球概率为 n3+2np3n=25\frac{\frac{n}{3}+2np}{3n}=\frac{2}{5}. 约去 nn，得 19+2p3=25\frac{1}{9}+\frac{2p}{3}=\frac{2}{5}，所以 2p3=1345\frac{2p}{3}=\frac{13}{45}，从而 p=1330p=\frac{13}{30}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，AB⊥BCAB \perp BC，AB=BC=12PAAB = BC = \frac{1}{2} PA，点 OO，DD 分别是 ACAC，PCPC 的中点，OP⊥OP \perp 底面 ABCABC.
(1) 求证： OD∥OD \parallel 平面 PABPAB； (2) 求直线 PAPA 与平面 PBCPBC 所成角的大小.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在三角形 APCAPC 中，OO，DD 分别是 ACAC，PCPC 的中点，所以由中位线定理， OD∥APOD\parallel AP. 又因为 AP⊂AP\subset 平面 PABPAB. 平面 PABPAB 与底面 ABCABC 的交线为 ABAB，而点 OO 是斜边 ACAC 的中点，不在 ABAB 上，所以 O∉O\notin 平面 PABPAB. 因此 OD∥OD\parallel 平面 PABPAB.
\item 设 AB=BC=sAB=BC=s，其中 s>0s>0. 建立空间直角坐标系，使底面 ABCABC 在 z=0z=0 平面内，取 B(0,0,0)B(0,0,0)，A(s,0,0)A(s,0,0)，C(0,s,0)C(0,s,0). 则 OO 为 ACAC 的中点，且 OP⊥OP\perp 底面，所以可设 O(s2,s2,0)O\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},0\right)，P(s2,s2,h)P\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)，其中 h>0h>0. 由 PA=2sPA=2s，有 (s2)2+(s2)2+h2=4s2\left(\frac{s}{2}\right)^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2+h^2=4s^2，所以 h2=7s22h^2=\frac{7s^2}{2}.
取直线 APAP 的方向向量 v=AP→=(−s2,s2,h)\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AP}=\left(-\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)，平面 PBCPBC 内的两个方向向量为 BP→=(s2,s2,h)\overrightarrow{BP}=\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right) 和 BC→=(0,s,0)\overrightarrow{BC}=(0,s,0). 因而平面 PBCPBC 的一个法向量可取 n=BP→×BC→=(−hs,0,s22)\boldsymbol{n}=\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{BC}=\left(-hs,0,\frac{s^2}{2}\right). 设直线 PAPA 与平面 PBCPBC 所成的角为 θ\theta，则 sin⁡θ=∣v⋅n∣∣v∣∣n∣\sin\theta=\frac{\left|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\right|}{\left|\boldsymbol{v}\right|\left|\boldsymbol{n}\right|}. 其中 ∣v∣=PA=2s\left|\boldsymbol{v}\right|=PA=2s，v⋅n=hs2\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}=hs^2，并且 ∣n∣=sh2+s24=s2152\left|\boldsymbol{n}\right|=s\sqrt{h^2+\frac{s^2}{4}}=\frac{s^2\sqrt{15}}{2}. 所以
sin⁡θ=hs22s⋅s2152=hs15=730\sin\theta=\frac{hs^2}{2s\cdot\frac{s^2\sqrt{15}}{2}}=\frac{h}{s\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{7}{30}}
因此 θ=arcsin⁡730\theta=\arcsin\sqrt{\frac{7}{30}}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1F_{1}，F2F_{2} 在 xx 轴上，长轴 A1A2A_{1}A_{2} 的长为 4，左准线 ll 与 xx 轴的交点为 MM，∣MA1∣:∣A1F1∣=2:1|MA_{1}|: |A_{1}F_{1}| = 2: 1.
(1) 求椭圆的方程； (2) 若点 PP 为 ll 上的动点，求 ∠F1PF2\angle F_1PF_2 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半长轴为 aa，半焦距为 cc，半短轴为 bb，则 2a=42a=4，a2=b2+c2a^2=b^2+c^2，所以 a=2a=2. 左准线方程为 x=−a2c=−4cx=-\frac{a^2}{c}=-\frac{4}{c}，故 M(−4c,0)M\left(-\frac{4}{c},0\right)，A1(−2,0)A_{1}(-2,0)，F1(−c,0)F_{1}(-c,0). 由题意，0<c<20<c<2，且 ∣MA1∣∣A1F1∣=4c−22−c=2\frac{|MA_{1}|}{|A_{1}F_{1}|}=\frac{\frac{4}{c}-2}{2-c}=2. 化简得 2(2−c)c(2−c)=2\frac{2(2-c)}{c(2-c)}=2，所以 c=1c=1. 于是 b2=a2−c2=4−1=3b^2=a^2-c^2=4-1=3，椭圆的方程为 x24+y23=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.
\item 由第（1）问，F1(−1,0)F_{1}(-1,0)，F2(1,0)F_{2}(1,0)，且直线 ll 的方程为 x=−4x=-4. 设动点 P(−4,t)P\left(-4,t\right)，令 u=∣t∣u=|t|. 此时 PF1→=(3,−t)\overrightarrow{PF_{1}}=(3,-t)，PF2→=(5,−t)\overrightarrow{PF_{2}}=(5,-t)，两向量的数量积为 t2+15>0t^2+15>0，故 θ=∠F1PF2\theta=\angle F_{1}PF_{2} 为锐角，并且
tan⁡θ=∣3(−t)−(−t)5∣3⋅5+(−t)(−t)=2uu2+15\tan\theta=\frac{\left|3(-t)-(-t)5\right|}{3\cdot5+(-t)(-t)}=\frac{2u}{u^2+15}
由基本不等式 u2+15⩾215 uu^2+15\geqslant2\sqrt{15}\,u，得 tan⁡θ=2uu2+15⩽115\tan\theta=\frac{2u}{u^2+15}\leqslant\frac{1}{\sqrt{15}}. 当且仅当 u=15u=\sqrt{15}，即 P(−4,15)P\left(-4,\sqrt{15}\right) 或 P(−4,−15)P\left(-4,-\sqrt{15}\right) 时等号成立. 因为 θ\theta 为锐角，所以其最大值为 arctan⁡115\arctan\frac{1}{\sqrt{15}}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x.
(1) 求函数 g(x)g(x) 的解析式； (2) 解不等式 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|； (3) 若 h(x)=g(x)−λf(x)+1h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1 在 [−1,1][-1, 1] 上是增函数，求实数 λ\lambda 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称，所以点 (x,g(x))(x,g(x)) 关于原点的对称点 (−x,−g(x))(-x,-g(x)) 在函数 ff 的图象上，即 f(−x)=−g(x)f(-x)=-g(x). 因此 g(x)=−f(−x)=−((−x)2+2(−x))=−x2+2xg(x)=-f(-x)=-\left((-x)^2+2(-x)\right)=-x^2+2x.
\item 由 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x)\geqslant f(x)-|x-1|，得 −x2+2x⩾x2+2x−∣x−1∣-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1|，即 ∣x−1∣⩾2x2|x-1|\geqslant2x^2. 当 x<1x<1 时，∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x，所以 2x2+x−1⩽02x^2+x-1\leqslant0，即 (2x−1)(x+1)⩽0(2x-1)(x+1)\leqslant0，解得 −1⩽x⩽12-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}.
当 x⩾1x\geqslant1 时，∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1，所以 2x2−x+1⩽02x^2-x+1\leqslant0. 该二次式的判别式为 1−8=−7<01-8=-7<0，且二次项系数为正，故无实数解. 因此原不等式的解集为 [−1,12]\left[-1,\frac{1}{2}\right].
\item h(x)=g(x)−λf(x)+1=−(1+λ)x2+2(1−λ)x+1h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda)x^2+2(1-\lambda)x+1，所以 h′(x)=−2(1+λ)x+2(1−λ)h'(x)=-2(1+\lambda)x+2(1-\lambda). 这是关于 xx 的一次函数，且 h′(−1)=4h'(-1)=4，h′(1)=−4λh'(1)=-4\lambda. 要使 h(x)h(x) 在 [−1,1][-1,1] 上为增函数，需且只需 h′(x)⩾0h'(x)\geqslant0 对区间内所有 xx 成立. 由于 h′h' 为一次函数，这等价于两个端点处均非负，故 −4λ⩾0-4\lambda\geqslant0. 因此实数 λ\lambda 的取值范围为 λ⩽0\lambda\leqslant0. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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