设 $f(x) = |x - 1| - |x|$，则 $f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right] =$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 先算 $f(\frac{1}{2})=|\frac{1}{2}-1|-|\frac{1}{2}|=0$，再算 $f(0)=|0-1|-|0|=1$. 因此 $f[f(\frac{1}{2})]=1$，故选 D. \end{solution}

函数 $y = ax^{2} + 1$ 的图象与直线 $y = x$ 相切，则 $a =$（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 抛物线与直线的交点横坐标满足 $ax^2+1=x$，即 $ax^2-x+1=0$. 两图象相切时该方程有且只有一个实根，因此判别式满足 $\Delta=(-1)^2-4a=0$，解得 $a=\frac{1}{4}$，故选 B. \end{solution}

函数 $y = \frac{x}{x + 2}$（$x \in \mathbf{R}$，且 $x \neq -2$）的反函数是______.

\begin{answer} $y=\frac{2x}{1-x}$（$x\in\mathbf{R}$，且 $x\neq1$） \end{answer}

\begin{solution} 设原函数的对应关系为 $y=\frac{x}{x+2}$. 交换 $x$，$y$ 后解出原来的自变量： $y(x+2)=x$，所以 $x(y-1)=-2y$，从而 $x=\frac{2y}{1-y}$. 因此反函数为 $y=\frac{2x}{1-x}$，且其定义域满足 $x\neq1$. \end{solution}

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x) = x^2 + 2x$.

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (2) 解不等式 $g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|$； (3) 若 $h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1$ 在 $[-1, 1]$ 上是增函数，求实数 $\lambda$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称，所以点 $(x,g(x))$ 关于原点的对称点 $(-x,-g(x))$ 在函数 $f$ 的图象上，即 $f(-x)=-g(x)$. 因此 $g(x)=-f(-x)=-\left((-x)^2+2(-x)\right)=-x^2+2x$.

\item 由 $g(x)\geqslant f(x)-|x-1|$，得 $-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1|$，即 $|x-1|\geqslant2x^2$. 当 $x<1$ 时，$|x-1|=1-x$，所以 $2x^2+x-1\leqslant0$，即 $(2x-1)(x+1)\leqslant0$，解得 $-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$.

当 $x\geqslant1$ 时，$|x-1|=x-1$，所以 $2x^2-x+1\leqslant0$. 该二次式的判别式为 $1-8=-7<0$，且二次项系数为正，故无实数解. 因此原不等式的解集为 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$.

\item $h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda)x^2+2(1-\lambda)x+1$，所以 $h'(x)=-2(1+\lambda)x+2(1-\lambda)$. 这是关于 $x$ 的一次函数，且 $h'(-1)=4$，$h'(1)=-4\lambda$. 要使 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为增函数，需且只需 $h'(x)\geqslant0$ 对区间内所有 $x$ 成立. 由于 $h'$ 为一次函数，这等价于两个端点处均非负，故 $-4\lambda\geqslant0$. 因此实数 $\lambda$ 的取值范围为 $\lambda\leqslant0$. \end{enumerate} \end{solution}