设集合 $A = \{(x,y)\mid x$，$y$，$1-x-y$ 是三角形的三边长$\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 因为 $x$，$y$，$1-x-y$ 是三角形的三边长，所以首先有 $x>0$，$y>0$，$1-x-y>0$，并且三角形的三边还满足 $x+y>1-x-y$，$x+1-x-y>y$，$y+1-x-y>x$. 这些不等式分别化为 $x+y>\frac{1}{2}$，$y<\frac{1}{2}$，$x<\frac{1}{2}$. 再结合 $x>0$，$y>0$ 及 $x+y<1$，所表示的区域为 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$，$x+y>\frac{1}{2}$ 的内部. 其边界为 $x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$，对应选项 A. \end{solution}

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 在 $x$ 轴上，长轴 $A_{1}A_{2}$ 的长为 4，左准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$，$|MA_{1}|: |A_{1}F_{1}| = 2: 1$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 若点 $P$ 为 $l$ 上的动点，求 $\angle F_1PF_2$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半长轴为 $a$，半焦距为 $c$，半短轴为 $b$，则 $2a=4$，$a^2=b^2+c^2$，所以 $a=2$. 左准线方程为 $x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{4}{c}$，故 $M\left(-\frac{4}{c},0\right)$，$A_{1}(-2,0)$，$F_{1}(-c,0)$. 由题意，$0<c<2$，且 $\frac{|MA_{1}|}{|A_{1}F_{1}|}=\frac{\frac{4}{c}-2}{2-c}=2$. 化简得 $\frac{2(2-c)}{c(2-c)}=2$，所以 $c=1$. 于是 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.

\item 由第（1）问，$F_{1}(-1,0)$，$F_{2}(1,0)$，且直线 $l$ 的方程为 $x=-4$. 设动点 $P\left(-4,t\right)$，令 $u=|t|$. 此时 $\overrightarrow{PF_{1}}=(3,-t)$，$\overrightarrow{PF_{2}}=(5,-t)$，两向量的数量积为 $t^2+15>0$，故 $\theta=\angle F_{1}PF_{2}$ 为锐角，并且 由基本不等式 $u^2+15\geqslant2\sqrt{15}\,u$，得 $\tan\theta=\frac{2u}{u^2+15}\leqslant\frac{1}{\sqrt{15}}$. 当且仅当 $u=\sqrt{15}$，即 $P\left(-4,\sqrt{15}\right)$ 或 $P\left(-4,-\sqrt{15}\right)$ 时等号成立. 因为 $\theta$ 为锐角，所以其最大值为 $\arctan\frac{1}{\sqrt{15}}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x) = x^2 + 2x$.

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (2) 解不等式 $g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|$； (3) 若 $h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1$ 在 $[-1, 1]$ 上是增函数，求实数 $\lambda$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称，所以点 $(x,g(x))$ 关于原点的对称点 $(-x,-g(x))$ 在函数 $f$ 的图象上，即 $f(-x)=-g(x)$. 因此 $g(x)=-f(-x)=-\left((-x)^2+2(-x)\right)=-x^2+2x$.

\item 由 $g(x)\geqslant f(x)-|x-1|$，得 $-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1|$，即 $|x-1|\geqslant2x^2$. 当 $x<1$ 时，$|x-1|=1-x$，所以 $2x^2+x-1\leqslant0$，即 $(2x-1)(x+1)\leqslant0$，解得 $-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$.

当 $x\geqslant1$ 时，$|x-1|=x-1$，所以 $2x^2-x+1\leqslant0$. 该二次式的判别式为 $1-8=-7<0$，且二次项系数为正，故无实数解. 因此原不等式的解集为 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$.

\item $h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda)x^2+2(1-\lambda)x+1$，所以 $h'(x)=-2(1+\lambda)x+2(1-\lambda)$. 这是关于 $x$ 的一次函数，且 $h'(-1)=4$，$h'(1)=-4\lambda$. 要使 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为增函数，需且只需 $h'(x)\geqslant0$ 对区间内所有 $x$ 成立. 由于 $h'$ 为一次函数，这等价于两个端点处均非负，故 $-4\lambda\geqslant0$. 因此实数 $\lambda$ 的取值范围为 $\lambda\leqslant0$. \end{enumerate} \end{solution}