已知实数 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，$a + 1$，$b + 1$，$c + 4$ 成等比数列. 且 $a + b + c = 15$，求 $a$，$b$，$c$.

\begin{solution} 因为 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，所以 $a+c=2b$. 又 $a+b+c=15$，从而 $3b=15$，即 $b=5$.

设等差数列的公差为 $d$，则 $a=5-d$，$c=5+d$. 由 $a+1$，$b+1$，$c+4$ 成等比数列，得 $(b+1)^2=(a+1)(c+4)$，即 $36=(6-d)(9+d)=54-3d-d^2$. 所以 $d^2+3d-18=(d-3)(d+6)=0$，故 $d=3$ 或 $d=-6$.

当 $d=3$ 时，$(a,b,c)=(2,5,8)$；当 $d=-6$ 时，$(a,b,c)=(11,5,-1)$. 因此 $(a,b,c)=(2,5,8)$ 或 $(a,b,c)=(11,5,-1)$. \end{solution}