设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l \subset \alpha$，$m \subset \beta$，有如下的两个命题：

① 若 $\alpha \parallel \beta$，则 $l \parallel m$； ② 若 $l \perp m$，则 $\alpha \perp \beta$.

那么（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 第一个命题不正确. 例如取两个平行平面 $\alpha:z=0$ 与 $\beta:z=1$，令 $l$ 为 $\alpha$ 内的 $x$ 轴，令 $m$ 为 $\beta$ 内方向平行于 $y$ 轴的直线，则 $l$ 与 $m$ 不平行.

第二个命题也不正确. 取 $\alpha:z=0$，$\beta:x=z$，令 $l$ 为 $\alpha$ 内的 $x$ 轴，令 $m$ 为 $\beta$ 内的 $y$ 轴，则 $l\perp m$. 但两平面的法向量可分别取 $(0,0,1)$ 与 $(1,0,-1)$，它们的数量积为 $-1\ne0$，所以 $\alpha$ 与 $\beta$ 不垂直. 因此两个命题都是假命题，选 D. \end{solution}

设 $M$，$N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的中点，$DE \perp AB$ 于 $E$ （如图）. 现将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起，使二面角 $A - DE - B$ 为 $45^\circ$，此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$，则 $M$，$N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于______.

\begin{answer} $90^\circ$ \end{answer}

\begin{solution} 设平面 $BCDE$ 为 $z=0$，取 $DE$ 为 $y$ 轴，令 $E=(0,0,0)$，$D=(0,d,0)$，$B=(u,0,0)$，$C=(u,d,0)$，其中 $u>0$，$d>0$. 点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影为 $B$，故可设 $A=(u,0,v)$. 二面角 $A-DE-B$ 为 $45^\circ$，所以在过 $E$ 且垂直于 $DE$ 的截面内，直线 $EA$ 与 $EB$ 所成的角为 $45^\circ$. 因而 $\displaystyle \cos45^\circ=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$，得 $v^2=u^2$.

由中点坐标公式，$M$，$N$ 分别为 $AD$，$BC$ 的中点，所以 $\displaystyle M=(\frac{u}{2},\frac{d}{2},\frac{v}{2})$，$N=(u,\frac{d}{2},0)$. 于是 $\overrightarrow{MN}=(\frac{u}{2},0,-\frac{v}{2})$，$\overrightarrow{AE}=(-u,0,-v)$，从而 $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AE}=-\frac{u^2}{2}+\frac{v^2}{2}=0$. 因此 $MN\perp AE$，两直线所成角为 $90^\circ$. \end{solution}

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$AB \perp BC$，$AB = BC = \frac{1}{2} PA$，点 $O$，$D$ 分别是 $AC$，$PC$ 的中点，$OP \perp$ 底面 $ABC$.

(1) 求证： $OD \parallel$ 平面 $PAB$； (2) 求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在三角形 $APC$ 中，$O$，$D$ 分别是 $AC$，$PC$ 的中点，所以由中位线定理， $OD\parallel AP$. 又因为 $AP\subset$ 平面 $PAB$. 平面 $PAB$ 与底面 $ABC$ 的交线为 $AB$，而点 $O$ 是斜边 $AC$ 的中点，不在 $AB$ 上，所以 $O\notin$ 平面 $PAB$. 因此 $OD\parallel$ 平面 $PAB$.

\item 设 $AB=BC=s$，其中 $s>0$. 建立空间直角坐标系，使底面 $ABC$ 在 $z=0$ 平面内，取 $B(0,0,0)$，$A(s,0,0)$，$C(0,s,0)$. 则 $O$ 为 $AC$ 的中点，且 $OP\perp$ 底面，所以可设 $O\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},0\right)$，$P\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)$，其中 $h>0$. 由 $PA=2s$，有 $\left(\frac{s}{2}\right)^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2+h^2=4s^2$，所以 $h^2=\frac{7s^2}{2}$.

取直线 $AP$ 的方向向量 $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AP}=\left(-\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)$，平面 $PBC$ 内的两个方向向量为 $\overrightarrow{BP}=\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2},h\right)$ 和 $\overrightarrow{BC}=(0,s,0)$. 因而平面 $PBC$ 的一个法向量可取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{BC}=\left(-hs,0,\frac{s^2}{2}\right)$. 设直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin\theta=\frac{\left|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\right|}{\left|\boldsymbol{v}\right|\left|\boldsymbol{n}\right|}$. 其中 $\left|\boldsymbol{v}\right|=PA=2s$，$\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}=hs^2$，并且 $\left|\boldsymbol{n}\right|=s\sqrt{h^2+\frac{s^2}{4}}=\frac{s^2\sqrt{15}}{2}$. 所以 因此 $\theta=\arcsin\sqrt{\frac{7}{30}}$. \end{enumerate} \end{solution}