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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，且 A={2,3,4}A = \{2, 3, 4\}，B={1,2}B = \{1, 2\}，则 A∩(∁UB)A \cap \left( \complement_U B \right) 等于（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{5}\{5\}
C.
{3,4}\{3, 4\}
D.
{2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\}

2007 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★☆☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a4=4a_4 = 4，则 a2⋅a6a_2 \cdot a_6 等于（ ）
A.
44
B.
88
C.
1616
D.
3232

2007 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
sin⁡15∘cos⁡75∘+cos⁡15∘sin⁡105∘\sin 15^\circ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 105^\circ 等于（ ）
A.
00
B.
12\frac{1}{2}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
11

2007 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
“∣x∣<2|x| < 2”是“x2−x−6<0x^2 - x - 6 < 0”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+π3)f(x) = \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) 的图象（ ）
A.
关于点 (π3,0)\left( \frac{\pi}{3}, 0 \right) 对称
B.
关于直线 x=π4x = \frac{\pi}{4} 对称
C.
关于点 (π4,0)\left( \frac{\pi}{4}, 0 \right) 对称
D.
关于直线 x=π3x = \frac{\pi}{3} 对称

2007 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF，GG，HH 分别为 AA1AA_1，ABAB，BB1BB_1，B1C1B_1C_1 的中点，则异面直线 EFEF 与 GHGH 所成的角等于（ ）
A.
45∘45^\circ
B.
60∘60^\circ
C.
90∘90^\circ
D.
120∘120^\circ

2007 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为 R\mathbf{R} 上的减函数，则满足 f(1x)>f(1)f\left( \frac{1}{x} \right) > f(1) 的实数 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(-\infty, 1)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(−∞,0)∪(0,1)(-\infty, 0) \cup (0, 1)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

2007 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★☆☆☆☆
对于向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，下列命题中真命题的是（ ）
A.
若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a=0\boldsymbol{a} = 0 或 b=0\boldsymbol{b} = 0
B.
若 λa=0\lambda\boldsymbol{a} = 0，则 λ=0\lambda = 0 或 a=0\boldsymbol{a} = 0
C.
若 a2=b2\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2，则 a=b\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} 或 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
D.
若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}

2007 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n∥β⇒α∥βn \parallel \beta \Rightarrow \alpha \parallel \beta
B.
α∥β\alpha \parallel \beta，m⊂αm \subset \alpha，n⊂β⇒m∥nn \subset \beta \Rightarrow m \parallel n
C.
m⊥αm \perp \alpha，m⊥n⇒n∥αm \perp n \Rightarrow n \parallel \alpha
D.
n∥mn \parallel m，n⊥α⇒m⊥αn \perp \alpha \Rightarrow m \perp \alpha

2007 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x2−y2=2x^2 - y^2 = 2 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）
A.
x2+y2−4x−3=0x^2 + y^2 - 4x - 3 = 0
B.
x2+y2−4x+3=0x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0
C.
x2+y2+4x−5=0x^2 + y^2 + 4x - 5 = 0
D.
x2+y2+4x+5=0x^2 + y^2 + 4x + 5 = 0

2007 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
已知对任意实数 xx，有 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)，g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)，且 x>0x > 0 时，f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0，则 x<0x < 0 时（ ）
A.
f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0
B.
f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)<0g'(x) < 0
C.
f′(x)<0f'(x) < 0，g′(x)>0g'(x) > 0
D.
f′(x)<0f'(x) < 0，g′(x)<0g'(x) < 0

2007 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
某通讯公司推出一组手机号码，卡号的前七位数字固定，从“××××××× 00000000”到“×××××××99999999”共 1000010000 个号码. 公司限定：凡卡号的后四位带有数字“44”或“77”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A.
20002000
B.
40964096
C.
59045904
D.
83208320

2007 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)6\left( x^2 + \frac{1}{x} \right)^6 的展开式中常数项是______. （用数字作答）

2007 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
已知实数 xx，yy 满足
{x+y⩾2,x−y⩽2,0⩽y⩽3.\begin{cases} x + y \geqslant 2,\\ x - y \leqslant 2,\\ 0 \leqslant y \leqslant 3. \end{cases}
，则 2x−y2x - y 的取值范围是______.

2007 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知长方形 ABCDABCD，AB=4AB = 4，BC=3BC = 3，则以 AA，BB 为焦点，且过 CC，DD 两点的椭圆的离心率为______.

2007 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等. 如果集合 AA 中元素之间的一个关系“∼\sim”满足以下三个条件：
① 自反性：对于任意 a∈Aa \in A，都有 a∼aa \sim a. ② 对称性：对于任意 aa，b∈Ab \in A，若 a∼ba \sim b，则有 b∼ab \sim a. ③ 传递性：对于任意 aa，bb，c∈Ac \in A，若 a∼ba \sim b，b∼cb \sim c，则有 a∼ca \sim c.
则称“∼\sim”是集合 AA 的一个等价关系. 例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）. 请你再列出两个等价关系：______.

2007 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，tan⁡A=14\tan A = \frac{1}{4}，tan⁡B=35\tan B = \frac{3}{5}.
(1) 求角 CC 的大小. (2) 若 ABAB 边的长为 17\sqrt{17}，求 BCBC 边的长.

2007 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两名跳高运动员一次试跳 22 米高度成功的概率分别为 0.70.7，0.60.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1) 甲试跳三次，第三次才成功的概率. (2) 甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率. (3) 甲，乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

2007 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 的所有棱长都为 22，DD 为 CC1CC_1 中点.
(1) 求证：AB1⊥AB_1 \perp 平面 A1BDA_1BD. (2) 求二面角 A−A1D−BA-A_1D-B 的大小.

2007 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=tx2+2t2x+t−1f(x) = tx^2 + 2t^2x + t - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}，t>0t > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值 h(t)h(t). (2) 若 h(t)<−2t+mh(t) < -2t + m 对 t∈(0,2)t \in (0, 2) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2007 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a1=1a_1 = 1，an+1=2Sna_{n+1} = 2S_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项 ana_n. (2) 求数列 {nan}\{na_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2007 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知点 F(1,0)F(1, 0)，直线 l:x=−1l: x = -1，PP 为平面上的动点，过 PP 作直线 ll 的垂线，垂足为点 QQ，且 QP→⋅QF→=FP→⋅FQ→\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}.
(1) 求动点 PP 的轨迹 CC 的方程. (2) 过点 FF 的直线交轨迹 CC 于 AA，BB 两点，交直线 ll 于点 MM.
(i) 已知 MA→=λ1AF→\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}，MB→=λ2BF→\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}，求 λ1+λ2\lambda_1 + \lambda_2 的值； (ii) 求 ∣MA→∣⋅∣MB→∣\left| \overrightarrow{MA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MB} \right| 的最小值.

2007 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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