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04
指数函数与对数函数
★★☆☆☆
函数
y
=
(
1
2
)
x
+
1
y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1
y
=
(
2
1
)
x
+
1
的图象关于直线
y
=
x
y = x
y
=
x
对称的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
2011 · 四川 · 文 · 第 4 题 · 选择题
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22
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
2
3
x
+
1
2
f(x) = \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}
f
(
x
)
=
3
2
x
+
2
1
，
h
(
x
)
=
x
h(x) = \sqrt{x}
h
(
x
)
=
x
.
(1) 设函数
F
(
x
)
=
18
f
(
x
)
−
x
2
[
h
(
x
)
]
2
F(x) = 18f(x) - x^2[h(x)]^2
F
(
x
)
=
18
f
(
x
)
−
x
2
[
h
(
x
)
]
2
，求
F
(
x
)
F(x)
F
(
x
)
的单调区间与极值； (2) 设
a
∈
R
a \in \mathbf{R}
a
∈
R
，解关于
x
x
x
的方程
lg
[
3
2
f
(
x
−
1
)
−
3
4
]
=
2
lg
h
(
a
−
x
)
−
2
lg
h
(
4
−
x
)
\lg \left[ \frac{3}{2}f(x - 1) - \frac{3}{4} \right] = 2\lg h(a - x) - 2\lg h(4 - x)
l
g
[
2
3
f
(
x
−
1
)
−
4
3
]
=
2
l
g
h
(
a
−
x
)
−
2
l
g
h
(
4
−
x
)
； (3) 设
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
，证明：
f
(
n
)
h
(
n
)
−
[
h
(
1
)
+
h
(
2
)
+
⋯
+
h
(
n
)
]
⩾
1
6
f(n)h(n) - [h(1) + h(2) + \cdots + h(n)] \geqslant \frac{1}{6}
f
(
n
)
h
(
n
)
−
[
h
(
1
)
+
h
(
2
)
+
⋯
+
h
(
n
)]
⩾
6
1
.
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