双曲线 $9x^{2}-16y^{2}=1$ 的焦距是______.

已知函数 $f(x) = x + \frac{a}{x}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，且 $f(2) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. 设点 $P$ 是函数图象上的任意一点，过点 $P$ 分别作直线 $y = x$ 和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$，$N$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 问： $|PM| \cdot |PN|$ 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由； (3) 设 $O$ 为坐标原点，求四边形 $OMPN$ 面积的最小值.

(1) 求右焦点坐标是 $(2,0)$，且经过点 $(-2, -\sqrt{2})$ 的椭圆的标准方程； (2) 已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）.设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，$AB$ 的中点为 $M$.证明：当直线 $l$ 平行移动时，动点 $M$ 在一条过原点的定直线上； (3) 利用上一问所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.