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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={−1,1,2,3,5}A=\{-1,1,2,3,5\}，B={2,3,4}B=\{2,3,4\}，C={x∈R∣1≤x<3}C=\{x\in\mathbf{R}\mid 1\le x<3\}，则 (A∩C)∪B=(A\cap C)\cup B=（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{2,3}\{2,3\}
C.
{−1,2,3}\{-1,2,3\}
D.
{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}

2019 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
则目标函数 z=−4x+yz=-4x+y 的最大值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
55
D.
66

2019 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则“0<x<50<x<5”是“∣x−1∣<1|x-1|<1”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2019 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 SS 的值为（ ）
A.
55
B.
88
C.
2424
D.
2929

2019 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡27a=\log_2 7，b=log⁡38b=\log_3 8，c=0.30.2c=0.3^{0.2}，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
c<b<ac<b<a
B.
a<b<ca<b<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2019 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 FF，准线为 ll. 若与双曲线 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的两条渐近线分别交于点 AA 和点 BB，且 ∣AB∣=4∣OF∣|AB|=4|OF|（OO 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（A>0A>0，ω>0\omega>0，∣φ∣<π|\varphi|<\pi） 是奇函数，且 f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，将 y=f(x)y=f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g(x)g(x). 若 g ⁣(π4)=2g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2，则 f ⁣(3π8)=f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=（ ）
A.
−2-2
B.
−2-\sqrt2
C.
2\sqrt2
D.
22

2019 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x}（0≤x≤10\le x\le 1），f(x)=1xf(x)=\dfrac1x（x>1x>1）. 若关于 xx 的方程 f(x)=−14x+af(x)=-\dfrac14x+a（a∈Ra\in\mathbf{R}） 恰有两个互异的实数解，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[54,94]\left[\dfrac54,\dfrac94\right]
B.
(54,94]\left(\dfrac54,\dfrac94\right]
C.
(54,94]∪{1}\left(\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}
D.
[54,94]∪{1}\left[\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}

2019 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
ii 是虚数单位，则 ∣5−i1+i∣=‾\left|\dfrac{5-i}{1+i}\right|=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，使不等式 3x2+x−2<03x^2+x-2<0 成立的 xx 的取值范围为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★☆☆☆☆
曲线 y=cos⁡x−x2y=\cos x-\dfrac x2 在点 (0,1)(0,1) 处的切线方程为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{xy} 的最小值为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD//BCAD//BC，∣AB∣=23|AB|=2\sqrt3，∣AD∣=5|AD|=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育，继续教育，大病医疗，住房贷款利息或者住房租金，赡养老人等六项专项附加扣除. 某单位老，中，青员工分别有 72,108,12072,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 2525 人调查专项附加扣除的享受情况.
(1) 应从老，中，青员工中分别抽取多少人？ (2) 抽取的 2525 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 66 人，分别记为 AA，BB，CC，DD，EE，FF. 享受情况如右表，其中“∘\circ”表示享受，“×\times”表示不享受. 现从这 66 人中随机抽取 22 人接受采访.
员工项目AABBCCDDEEFF
继续教育×\times×\times∘\circ×\times∘\circ∘\circ
大病医疗×\times×\times×\times∘\circ×\times×\times
住房贷款利息∘\circ∘\circ×\times×\times∘\circ∘\circ
住房租金×\times×\times∘\circ×\times×\times×\times
赡养老人∘\circ∘\circ×\times×\times×\times∘\circ
(i) 试用列举法写出所有可能的抽取结果； (ii) 设事件 MM 为“从这 66 人中随机抽取 22 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 MM 发生的概率.

2019 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin\left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right) 的值.

2019 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，△PCD\triangle PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 PCDPCD，PA⊥CDPA\perp CD，CD=2CD=2，AD=3AD=3.
(1) 设 GG，HH 分别为 PBPB，ACAC 的中点，求证：GH//GH// 平面 PADPAD； (2) 求证：PA⊥PA\perp 平面 PCDPCD； (3) 求直线 ADAD 与平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2019 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，公比大于 00. 已知 a1=b1=3a_1=b_1=3，b2=a3b_2=a_3，b3=4a2+3b_3=4a_2+3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足：当 nn 为奇数时，cn=1c_n=1；当 nn 为偶数时，cn=bn2c_n=b_{\frac{n}{2}}. 求 a1c1+a2c2+⋯+a2nc2na_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_{2n}c_{2n}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，左顶点为 AA，上顶点为 BB. 已知 3∣OA∣=2∣OB∣\sqrt3|OA|=2|OB|（OO 为原点）.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设经过点 FF 且斜率为 34\dfrac34 的直线 ll 与椭圆在 xx 轴上方的交点为 PP，圆 CC 同时与 xx 轴和直线 ll 相切，圆心 CC 在直线 x=4x=4 上，且 OC//APOC//AP，求椭圆的方程.

2019 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡x−a(x−1)exf(x)=\ln x-a(x-1)\mathrm{e}^x，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 若 a≤0a\le0，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 0<a<\dfrac1\mathrm{e}，
(i) 证明 f(x)f(x) 恰有两个零点； (ii) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极值点，x1x_1 为 f(x)f(x) 的零点，且 x1>x0x_1>x_0，证明 3x0−x1>23x_0-x_1>2.

2019 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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