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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1−3sin⁡2xf(x)=1-3\sin^{2}x 的最小正周期为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}. 若集合 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，B={x∣2⩽x<3}B = \{x \mid 2 \leqslant x < 3\}，则 A∩∁UB=A \cap \complement_U B =______.

2015 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 3z+z‾=1+i3z + \overline{z} = 1 + \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =______.

2015 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x}{2x+1} 的反函数，则 f−1(2)=f^{-1}(2)=______.

2015 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
若线性方程组的增广矩阵为
(23c101c2)\begin{pmatrix} 2 & 3 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2} \end{pmatrix}
，解为
{x=3,y=5,\begin{cases} x = 3,\\ y = 5, \end{cases}
则 c1−c2=c_{1}-c_{2}=______.

2015 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★☆☆☆☆
若正三棱柱的所有棱长均为 aa，且其体积为 16316\sqrt{3}，则 a=a =______.

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07解析几何★★☆☆☆
抛物线 y2=2pxy^{2}=2px （p>0p>0） 上的动点 QQ 到焦点的距离的最小值为 1，则 p=p=______.

2015 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★★☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_{2}(9^{x-1}-5)=\log_{2}(3^{x-1}-2)+2 的解为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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09不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{x−y⩾0,x+y⩽2,y⩾0,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 2,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
则目标函数 f=x+2yf = x + 2y 的最大值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血. 要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (2x+1x2)6\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^6 的二项展开式中，常数项等于______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
已知双曲线 C1C_1，C2C_2 的顶点重合，C1C_1 的方程为 x24−y2=1\frac{x^2}{4} - y^2 = 1，若 C2C_2 的一条渐近线的斜率是 C1C_1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2C_2 的方程为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，且 {∣a∣,∣b∣,∣c∣}={1,2,3}\{|\boldsymbol{a}|, |\boldsymbol{b}|, |\boldsymbol{c}|\} = \{1, 2, 3\}，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| 的最大值是______.

2015 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，…\dots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 均为实数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是实数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16不等式★★☆☆☆
下列不等式中，与不等式 x+8x2+2x+3<2\frac{x + 8}{x^2 + 2x + 3} < 2 解集相同的是（ ）
A.
(x+8)(x2+2x+3)<2(x + 8)(x^2 + 2x + 3) < 2
B.
x+8<2(x2+2x+3)x + 8 < 2(x^{2} + 2x + 3)
C.
1x2+2x+3<2x+8\frac{1}{x^2 + 2x + 3} < \frac{2}{x + 8}
D.
x2+2x+3x+8>12\frac{x^2 + 2x + 3}{x + 8} > \frac{1}{2}

2015 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2015 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，底面的一条直径为 ABAB，CC 为半圆弧 AB^\widehat{AB} 的中点，EE 为劣弧 CB^\widehat{CB} 的中点. 已知 PO=2PO = 2，OA=1OA = 1，求三棱锥 P−AOCP - AOC 的体积，并求异面直线 PAPA 与 OEOE 所成角的余弦值.

2015 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1xf(x) = ax^2 + \frac{1}{x}，其中 aa 为常数.
(1) 根据 aa 的不同取值，判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 a∈(1,3)a \in (1,3)，判断函数 f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 上的单调性，并说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
如图，OO，PP，QQ 三地有直道相通，OP=3 千米OP = 3\text{ 千米}，PQ=4 千米PQ = 4\text{ 千米}，OQ=5 千米OQ = 5\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 OO 地出发匀速前往 QQ 地. 经过 tt 小时，他们之间的距离为 f(t)f(t)（单位：千米）. 甲的路线是 OQOQ，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 OPQOPQ，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 QQ 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 PP 地；t=t2t = t_2 时，乙到达 QQ 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米. 当 t1⩽t⩽t2t_1 \leqslant t \leqslant t_2 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,t2][t_1, t_2] 上的最大值是否超过 3？ 说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记 △AOC\triangle AOC 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=12∣x1y2−x2y1∣S = \frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|； (2) 设 l1:y=kxl_{1}: y = kx，C(33,33)C\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)，S=13S = \frac{1}{3}. 求 kk 的值. (3) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 mm，求 mm 的值，使得无论 l1l_{1} 与 l2l_{2} 如何变动，面积 SS 保持不变.

2015 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=3λ<0a_{1} = 3\lambda < 0，bn=λnb_{n} = \lambda^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求 λ\lambda 的取值范围，使得对任意 mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an≠0a_{n} \neq 0，且 aman∈(16,6)\frac{a_{m}}{a_{n}} \in \left(\frac{1}{6}, 6\right).

2015 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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