已知函数 $f(x) = ax^2 + \frac{1}{x}$，其中 $a$ 为常数.

(1) 根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 $a \in (1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由.