设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=\frac{x}{2x+1}$ 的反函数，则 $f^{-1}(2)=$______.

已知函数 $f(x) = \sin x$. 若存在 $x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_m$ 满足 $0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi$，且 $|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12$（$m \geqslant 2$，$m \in \mathbf{N}^*$），则 $m$ 的最小值为______.

已知函数 $f(x) = ax^2 + \frac{1}{x}$，其中 $a$ 为常数.

(1) 根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 $a \in (1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由.

如图，$O$，$P$，$Q$ 三地有直道相通，$OP = 3\text{ 千米}$，$PQ = 4\text{ 千米}$，$OQ = 5\text{ 千米}$. 现甲，乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地. 经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）. 甲的路线是 $OQ$，速度为 $5\text{ 千米/小时}$，乙的路线是 $OPQ$，速度为 $8\text{ 千米/小时}$. 乙到达 $Q$ 地后在原地等待. 设 $t = t_1$ 时，乙到达 $P$ 地；$t = t_2$ 时，乙到达 $Q$ 地.

(1) 求 $t_{1}$ 与 $f(t_{1})$ 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米. 当 $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $[t_1, t_2]$ 上的最大值是否超过 3？ 说明理由.