已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $b_{n} = 3n + 5$，且 $a_{1} = 1$，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $\{a_{n}\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项，即 $a_{n_0} \geqslant a_n$（$n \in \mathbf{N}^*$），求证： $\{b_n\}$ 的第 $n_0$ 项是最大项； (3) 设 $a_{1} = 3\lambda < 0$，$b_{n} = \lambda^{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$），求 $\lambda$ 的取值范围，使得对任意 $m$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{n} \neq 0$，且 $\frac{a_{m}}{a_{n}} \in \left(\frac{1}{6}, 6\right)$.