若正三棱柱的所有棱长均为 $a$，且其体积为 $16\sqrt{3}$，则 $a =$______.

如图，圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，底面的一条直径为 $AB$，$C$ 为半圆弧 $\widehat{AB}$ 的中点，$E$ 为劣弧 $\widehat{CB}$ 的中点. 已知 $PO = 2$，$OA = 1$，求三棱锥 $P - AOC$ 的体积，并求异面直线 $PA$ 与 $OE$ 所成角的余弦值.