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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
命题“若 pp 则 qq”的逆命题是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 逆命题是把原命题的条件与结论互换. 原命题的条件为 pp，结论为 qq，所以其逆命题为“若 qq 则 pp”，故选 A. \end{solution}
A.
若 qq 则 pp
B.
若 ¬p\lnot p 则 ¬q\lnot q
C.
若 ¬q\lnot q 则 ¬p\lnot p
D.
若 pp 则 ¬q\lnot q

2012 · 重庆 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x+2<0\frac{x-1}{x+2}<0 的解集为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 分式有意义的条件是 x≠−2x\ne-2，并且分子、分母的零点分别为 11 和 −2-2. 在三个区间上判断符号：当 x∈(−∞,−2)x\in(-\infty,-2) 时，分子、分母均为负，分式为正；当 x∈(−2,1)x\in(-2,1) 时，分子为负而分母为正，分式为负；当 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 时，分式为正. 因此不等式的解集为 (−2,1)(-2,1)，故选 C. \end{solution}
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(−∞,−2)(-\infty,-2)
C.
(−2,1)(-2,1)
D.
(−∞,−2)∪(1,+∞)(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)

2012 · 重庆 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
设 AA，BB 为直线 y=xy=x 与圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 的两个交点，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 的圆心为原点 OO，半径为 11. 直线 y=xy=x 经过圆心，所以它截圆所得的弦 ABAB 是直径，故 ∣AB∣=2×1=2|AB|=2\times1=2，选 D. \end{solution}
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2012 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1−3x)5(1-3x)^5 的展开式中 x3x^3 的系数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开的通项为 C5k(1)5−k(−3x)k\mathrm C_5^k(1)^{5-k}(-3x)^k. 含 x3x^3 的项对应 k=3k=3，其系数为 C53(−3)3=10×(−27)=−270\mathrm C_5^3(-3)^3=10\times(-27)=-270，故选 A. \end{solution}
A.
−270-270
B.
−90-90
C.
9090
D.
270270

2012 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
sin⁡47∘−sin⁡17∘cos⁡30∘cos⁡17∘=\frac{\sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ}\cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}=（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由和角公式，sin⁡47∘=sin⁡(17∘+30∘)=sin⁡17∘cos⁡30∘+cos⁡17∘sin⁡30∘\sin47^{\circ}=\sin(17^{\circ}+30^{\circ})=\sin17^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos17^{\circ}\sin30^{\circ}. 因此原式等于 cos⁡17∘sin⁡30∘cos⁡17∘=sin⁡30∘=12\frac{\cos17^{\circ}\sin30^{\circ}}{\cos17^{\circ}}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}，故选 C. \end{solution}
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2012 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(1,−2)\boldsymbol{b}=(1,-2)，且 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，得 a⋅b=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0，即 x×1+1×(−2)=0x\times1+1\times(-2)=0，所以 x=2x=2. 于是 a+b=(3,−1)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)，从而 ∣a+b∣=32+(−1)2=10|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}，故选 B. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
252\sqrt{5}
D.
1010

2012 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡23+log⁡23a=\log_{2}3+\log_{2}\sqrt{3}，b=log⁡29−log⁡23b=\log_{2}9-\log_{2}\sqrt{3}，c=log⁡32c=\log_{3}2，则 aa，bb，cc 的大小关系是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设 t=log⁡23t=\log_2 3. 因为 3>23>2，所以 t>1t>1. 利用对数的运算性质，a=log⁡2(33)=log⁡2(332)=32ta=\log_2(3\sqrt3)=\log_2(3^{\frac{3}{2}})=\frac32t，b=log⁡293=log⁡2(332)=32tb=\log_2\frac{9}{\sqrt3}=\log_2(3^{\frac{3}{2}})=\frac32t，故 a=ba=b. 又 c=log⁡32=1log⁡23=1tc=\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}=\frac1t，且 t>1t>1 时 32t>1t\frac32t>\frac1t，所以 a=b>ca=b>c，故选 B. \end{solution}
A.
a=b<ca=b<c
B.
a=b>ca=b>c
C.
a<b<ca<b<c
D.
a>b>ca>b>c

2012 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，则函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 要说明“可能是”，只需构造一个满足条件的可导函数. 取 f(x)=12(x+2)2f(x)=\frac12(x+2)^2，则 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，且 f′(x)=x+2f'(x)=x+2. 于是 y=xf′(x)=x(x+2)=x2+2xy=xf'(x)=x(x+2)=x^2+2x，其图象是开口向上的抛物线，过 x=−2x=-2 和 x=0x=0 两个零点，在两零点之间位于 xx 轴下方，正是选项 C 所表示的图象，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2012 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
设四面体的六条棱的长分别为 11，11，11，11，2\sqrt{2} 和 aa，且长为 aa 的棱与长为 2\sqrt{2} 的棱异面，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设长为 aa 的一条棱为 ABAB，与之异面的长为 2\sqrt2 的棱为 CDCD，则另外四条棱 ACAC，ADAD，BCBC，BDBD 的长均为 11. 取 ABAB 的中点为原点，使 A=(−a2,0,0)A=(-\frac a2,0,0)，B=(a2,0,0)B=(\frac a2,0,0). 由 AC=BC=1AC=BC=1 及 AD=BD=1AD=BD=1，可设 C=(0,u,v)C=(0,u,v)，D=(0,s,t)D=(0,s,t)，并有 u2+v2=s2+t2=1−a24u^2+v^2=s^2+t^2=1-\frac{a^2}{4}. 记 r=1−a24r=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}，则 CC，DD 位于同一圆心为原点、半径为 rr 的圆上.
因为 CD=2CD=\sqrt2，由三角不等式得 2=∣CD∣≤∣C∣+∣D∣=2r\sqrt2=|CD|\leq|C|+|D|=2r，所以 2≤4−a22\leq4-a^2，即 a2≤2a^2\leq2. 若 a=2a=\sqrt2，则 CD=2rCD=2r，等号成立时 D=−CD=-C，四点 AA，BB，CC，DD 共面，不能构成非退化四面体，故必须有 a<2a<\sqrt2. 又棱长 a>0a>0，所以 0<a<20<a<\sqrt2.
反过来，任取 0<a<20<a<\sqrt2，则 2r>22r>\sqrt2，可在该圆上取两点 CC，DD，使 CD=2CD=\sqrt2 且 D≠−CD\ne-C，从而四点不共面并满足六条棱的长度条件. 因此 aa 的取值范围为 (0,2)(0,\sqrt2)，故选 A. \end{solution}
A.
(0,2)(0,\sqrt{2})
B.
(0,3)(0,\sqrt{3})
C.
(1,2)(1,\sqrt{2})
D.
(1,3)(1,\sqrt{3})

2012 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设函数 f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3，g(x)=3x−2g(x)=3x-2，集合 M={x∈R∣f(g(x))>0}M=\{x\in\mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}，N={x∈R∣g(x)<2}N=\{x\in\mathbf{R}\mid g(x)<2\}，则 M∩NM\cap N 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 先求 f(g(x))f(g(x))：
f(g(x))=(3x−2)2−4(3x−2)+3=9x2−24x+15=3(3x−5)(x−1).f(g(x))=(3x-2)^2-4(3x-2)+3=9x^2-24x+15=3(3x-5)(x-1).
所以 f(g(x))>0f(g(x))>0 的解集为 x<1x<1 或 x>53x>\frac53. 另一方面，g(x)<2g(x)<2 等价于 3x−2<23x-2<2，即 x<43x<\frac43. 取交集时，区间 (53,+∞)(\frac53,+\infty) 与 (−∞,43)(-\infty,\frac43) 无交集，因此 M∩N=(−∞,1)M\cap N=(-\infty,1)，故选 D. \end{solution}
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,1)(-1,1)
D.
(−∞,1)(-\infty,1)

2012 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★☆☆☆☆
首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 44 项和 S4=‾S_{4}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1515 \end{answer}
\begin{solution} 首项为 11，公比为 22，所以前四项依次为 11，22，44，88. 因此 S4=1+2+4+8=15S_4=1+2+4+8=15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
若 f(x)=(x+a)(x−4)f(x)=(x+a)(x-4) 为偶函数，则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution} 展开得 f(x)=x2+(a−4)x−4af(x)=x^2+(a-4)x-4a. 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，二次式中一次项系数必须为零，所以 a−4=0a-4=0，即 a=4a=4. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a=1a=1，b=2b=2，cos⁡C=14\cos C=\frac{1}{4}，则 sin⁡B=‾\sin B=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 154\frac{\sqrt{15}}{4} \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，c2=a2+b2−2abcos⁡C=12+22−2×1×2×14=4c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=1^2+2^2-2\times1\times2\times\frac14=4，所以 c=2c=2. 又 0<C<π0<C<\pi，故 sin⁡C=1−cos⁡2C=1−116=154\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\sqrt{1-\frac1{16}}=\frac{\sqrt{15}}4. 由正弦定理 bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}，且 b=c=2b=c=2，得到 sin⁡B=sin⁡C=154\sin B=\sin C=\frac{\sqrt{15}}4. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 PP 为直线 y=b3axy=\frac{b}{3a}x 与双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 （a>0a>0，b>0b>0）左支的交点，F1F_1 是左焦点，PF1PF_1 垂直于 xx 轴，则双曲线的离心率 e=‾e=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 324\frac{3\sqrt{2}}{4} \end{answer}
\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 cc，则 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，左焦点为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0). 因为 PF1⊥xPF_1\perp x 轴，点 PP 与 F1F_1 的横坐标相同，所以 xP=−cx_P=-c. 由直线方程，yP=−bc3ay_P=-\frac{bc}{3a}. 将 PP 代入双曲线方程，得 c2a2−c29a2=1\frac{c^2}{a^2}-\frac{c^2}{9a^2}=1，即 89c2a2=1\frac89\frac{c^2}{a^2}=1. 因此离心率 e=ca=98=324e=\frac ca=\sqrt{\frac98}=\frac{3\sqrt2}{4}. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 11 节艺术课的概率为______. （用数字作答）
\begin{answer} 15\frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 把语文、数学、外语和三门艺术课视为六门彼此不同的课，课表的总排法数为 6!6!. 先排三门艺术课，有 3!3! 种排法；三门艺术课排好后形成左端、两课之间和右端共 44 个空隙. 为了使相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课，三门文化课必须分别放入其中三个不同空隙，有 C43\mathrm C_4^3 种选法，再排列三门文化课，有 3!3! 种排法. 因此有利排法数为 3!C433!3!\mathrm C_4^3 3!，所求概率为 3!C433!6!=15\frac{3!\mathrm C_4^3 3!}{6!}=\frac15. \end{solution}

2012 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a1+a3=8a_{1}+a_{3}=8，a2+a4=12a_{2}+a_{4}=12.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 {Sn}\{S_{n}\}，若 a1a_{1}，aka_{k}，ak+2a_{k+2} 成等比数列，求正整数 kk 的值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx+cf(x)=ax^3+bx+c 在点 x=2x=2 处取得极值 c−16c-16.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若 f(x)f(x) 有极大值 28，求 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3,3] 上的最小值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人轮流投篮，每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 33 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 13\frac{1}{3}，乙每次投篮投中的概率为 12\frac{1}{2}，且各次投篮互不影响.
(1) 求乙获胜的概率； (2) 求投篮结束时乙只投了 22 个球的概率.

2012 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（其中 A>0A>0，ω>0\omega>0，−π<φ⩽π-\pi<\varphi\leqslant \pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值 2，其图象与 xx 轴的相邻两个交点的距离为 π2\frac{\pi}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 求函数 g(x)=6cos⁡4x−sin⁡2x−1f(x+π6)g(x)=\frac{6\cos^{4}x-\sin^{2}x-1}{f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} 的值域.

2012 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=4AB=4，AC=BC=3AC=BC=3，DD 为 ABAB 的中点.
(1) 求异面直线 CC1CC_{1} 和 ABAB 的距离； (2) 若 AB1⊥A1CAB_{1}\perp A_{1}C，求二面角 A1−CD−B1A_{1}-CD-B_{1} 的平面角的余弦值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，设椭圆的中心为原点 OO，长轴在 xx 轴上，上顶点为 AA，左，右焦点分别为 F1F_{1}，F2F_{2}，线段 OF1OF_{1}，OF2OF_{2} 的中点分别为 B1B_{1}，B2B_{2}，且 △AB1B2\triangle AB_{1}B_{2} 是面积为 44 的直角三角形.
(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 B1B_{1} 作直线交椭圆于 PP，QQ 两点，使 PB2⊥QB2PB_{2}\perp QB_{2}，求 △PB2Q\triangle PB_{2}Q 的面积.

2012 · 重庆 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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