设 $A$，$B$ 为直线 $y=x$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 的两个交点，则 $|AB|=$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为原点 $O$，半径为 $1$. 直线 $y=x$ 经过圆心，所以它截圆所得的弦 $AB$ 是直径，故 $|AB|=2\times1=2$，选 D. \end{solution}

设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3a}x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0$，$b>0$）左支的交点，$F_1$ 是左焦点，$PF_1$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，左焦点为 $F_1=(-c,0)$. 因为 $PF_1\perp x$ 轴，点 $P$ 与 $F_1$ 的横坐标相同，所以 $x_P=-c$. 由直线方程，$y_P=-\frac{bc}{3a}$. 将 $P$ 代入双曲线方程，得 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{c^2}{9a^2}=1$，即 $\frac89\frac{c^2}{a^2}=1$. 因此离心率 $e=\frac ca=\sqrt{\frac98}=\frac{3\sqrt2}{4}$. \end{solution}

如图，设椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$，左，右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，线段 $OF_{1}$，$OF_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，且 $\triangle AB_{1}B_{2}$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程； (2) 过 $B_{1}$ 作直线交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，使 $PB_{2}\perp QB_{2}$，求 $\triangle PB_{2}Q$ 的面积.