设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，其导函数为 $f'(x)$，且函数 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极小值，则函数 $y=xf'(x)$ 的图象可能是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 要说明“可能是”，只需构造一个满足条件的可导函数. 取 $f(x)=\frac12(x+2)^2$，则 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极小值，且 $f'(x)=x+2$. 于是 $y=xf'(x)=x(x+2)=x^2+2x$，其图象是开口向上的抛物线，过 $x=-2$ 和 $x=0$ 两个零点，在两零点之间位于 $x$ 轴下方，正是选项 C 所表示的图象，故选 C. \end{solution}

设函数 $f(x)=x^2-4x+3$，$g(x)=3x-2$，集合 $M=\{x\in\mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}$，$N=\{x\in\mathbf{R}\mid g(x)<2\}$，则 $M\cap N$ 为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 先求 $f(g(x))$： 所以 $f(g(x))>0$ 的解集为 $x<1$ 或 $x>\frac53$. 另一方面，$g(x)<2$ 等价于 $3x-2<2$，即 $x<\frac43$. 取交集时，区间 $(\frac53,+\infty)$ 与 $(-\infty,\frac43)$ 无交集，因此 $M\cap N=(-\infty,1)$，故选 D. \end{solution}

若 $f(x)=(x+a)(x-4)$ 为偶函数，则实数 $a=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $4$ \end{answer}

\begin{solution} 展开得 $f(x)=x^2+(a-4)x-4a$. 偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，二次式中一次项系数必须为零，所以 $a-4=0$，即 $a=4$. \end{solution}