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13
数列
★★☆☆☆
等比数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的各项均为正数，且
a
1
a
5
=
4
a_{1}a_{5} = 4
a
1
a
5
=
4
，则
log
2
a
1
+
log
2
a
2
+
log
2
a
3
+
log
2
a
4
+
log
2
a
5
=
‾
\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{4} + \log_{2} a_{5} =\underline{\hspace{2em}}
lo
g
2
a
1
+
lo
g
2
a
2
+
lo
g
2
a
3
+
lo
g
2
a
4
+
lo
g
2
a
5
=
.
2014 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题
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19
数列
★★★★☆
设各项均为正数的数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
，且
S
n
S_{n}
S
n
满足
S
n
2
−
(
n
2
+
n
−
3
)
S
n
−
3
(
n
2
+
n
)
=
0
S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3)S_{n} - 3(n^{2} + n) = 0
S
n
2
−
(
n
2
+
n
−
3
)
S
n
−
3
(
n
2
+
n
)
=
0
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
.
(1) 求
a
1
a_{1}
a
1
的值； (2) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (3) 证明：对一切正整数
n
n
n
，有
1
a
1
(
a
1
+
1
)
+
1
a
2
(
a
2
+
1
)
+
⋯
+
1
a
n
(
a
n
+
1
)
<
1
3
\frac{1}{a_1(a_1 + 1)} + \frac{1}{a_2(a_2 + 1)} + \cdots + \frac{1}{a_n(a_n + 1)} < \frac{1}{3}
a
1
(
a
1
+
1
)
1
+
a
2
(
a
2
+
1
)
1
+
⋯
+
a
n
(
a
n
+
1
)
1
<
3
1
.
2014 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题
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