设球的半径为时间 $t$ 的函数 $R(t)$. 若球的体积以均匀速度 $c$ 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

已知函数 $f(x) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x + \sin x$，则 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值为______.

在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes$： $p \otimes q = -\frac{1}{3}(p - c)(q - b) + 4bc$（$p$，$q$ 为实常数）. 记 $f_1(x) = x^{2} - 2c$，$f_2(x) = x - 2b$，$x \in \mathbf{R}$. 令 $f(x) = f_1(x) \otimes f_2(x)$.

(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$，试确定 $b$，$c$ 的值； (2) 求曲线 $y = f(x)$ 上斜率为 $c$ 的切线与该曲线的公共点； (3) 记 $g(x) = |f'(x)|$（$-1 \leqslant x \leqslant 1$）的最大值为 $M$. 若 $M \geqslant k$ 对任意的 $b$，$c$ 恒成立，试求 $k$ 的最大值.